已知一元二次方程x2+2ax+(7a-6)=0(a∈R)有兩個不等的實數(shù)根.
(Ⅰ)求a的取值范圍;
(Ⅱ)求函數(shù)f(a)=a+
4
a-1
的值域.
考點:二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的值域
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應用
分析:(Ⅰ)由題意可得判別式△=4a2-4(7a-6)>0,由此解的要求的a的范圍.
(Ⅱ)分當a>6時和當a<1時兩種情況,分別利用級不等式,求得f(a)的范圍.
解答: 解:(Ⅰ)由題意可得判別式△=4a2-4(7a-6)>0,解得 a>6,或 a<1,
故要求的a的范圍為{a|a>6,或 a<1}.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當a>6時,a-1>5,f(a)=a+
4
a-1
=(a-1)+
4
a-1
+1≥2
(a-1)•
4
a-1
+1=5,
當且僅當=(a-1)=
4
a-1
時,取等號,即當a=3時,f(a)取得最小值為5.
故有f(a)>f(6)=
34
5

當a<1時,-f(a)=(1-a)+
4
1-a
-1≥2
(1-a)•
4
1-a
-1=3,
∴f(a)≤-3,當且僅當(1-a)=
4
1-a
,即 a=-1時,取等號,
綜上,函數(shù)f(x)的值域為(-∞,-3]∪(
34
5
,+∞).
點評:本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,二次函數(shù)的性質(zhì)的應用,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想,屬于基礎題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖所示的程序輸出的結果為(  )
A、17B、19C、21D、23

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=2sin2x+sinxcosx+cos2x
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,
π
2
]上的最大值和最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知F1、F2是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的左、右焦點,O為坐標原點,點P(-1,
2
2
)在橢圓上,線段PF2與y軸的交點M滿足
PM
+
F2M
=
0
;
(1)求橢圓的標準方程;
(2)⊙O是以F1F2為直徑的圓,一直線l:y=kx+m與⊙O相切,并與橢圓交于不同的兩點A、B.當
OA
OB
=λ且滿足
2
3
≤λ≤
3
4
時,求△AOB面積S的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知曲線C1
x=2cosθ
y=3sinθ
(θ為參數(shù)),曲線C2
x=
2
2
t
y=-6+
2
2
t
 (t為參數(shù)).
(1)分別將曲線C1與曲線C2化為普通方程.
(2)點P是曲線C1上的動點,求P到曲線C2的距離的最小值,并求此時點P點的直角坐標系下的坐標.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖所示,一科學考察船從港口O出發(fā),沿北偏東α角的射線OZ方向航行,而在離港口3
13
海里的北偏東β角的A處有一個供給科考船物資的小島,其中tanα=
1
3
,tanβ=
3
2
.現(xiàn)指揮部需要緊急征調(diào)沿海岸線港口O正東t(t>7)海里的B處的補給船,速往小島A裝運物資供給科考船,該船沿BA方向全速追趕科考船,并在C處相遇.經(jīng)測算當兩船運行的航向與海岸線OB圍成的三角形OBC的面積最小時,這種補給最適宜.
(1)求S關于t的函數(shù)關系式S(t);
(2)應征調(diào)t為何值處的船只,補給最適宜.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知等差數(shù)列{an}中,a5=8,a10=18,三點(a1,0)、(a2,2)、(a3,0)在圓C上,
(Ⅰ)求圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l:mx+ny+1=0被圓C所截得的弦長為2
3
,求m2+n2的最小值;
(Ⅲ)若一條動直線與圓C交于A、B兩點,且總有|OA|•|OB|=8,(點O為坐標原點),試探究直線AB是否恒與一個定圓相切,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,三棱錐C-ABD中,AB=AD=BD=BC=CD=2,O為BD的中點,∠AOC=120°,P為AC上一點,Q為AO上一點,且
AP
PC
=
AQ
QO
=2

(Ⅰ)求證:PQ∥平面BCD;
(Ⅱ)求三棱錐P-ABD的體積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設有兩個命題,命題p:?x∈(1,
5
2
)使函數(shù)g(x)=log2(ax2+2x-2)有意義;命題q:已知函數(shù)f(x)=mx3+nx2的圖象在點(-1,2)處的切線恰好與直線2x+y=1平行,且f(x)在[a,a+1]上單調(diào)遞減.若命題p或q為真,求實數(shù)a的取值范圍.

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