Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x），對(duì)任意a，b∈R，滿足f（a+b）=f（a）•f（b），當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）＞1，其中f（1）=2．
（1）求f（0），f（-1）的值；
（2）證明：y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）采用賦值法，令x=y=0，即可求得f（0）；對(duì)任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），可求得
f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x），進(jìn)而f（x）f（-x）=1，易得?x∈R，f（x）＞0，利用?x∈（-∞，0），f(x)=

1

f(-x)

，可求f（-1）
（2）利用單調(diào)性的定義即可證明f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)．
（3）令x=y=1，求得f（2）=4，即有不等式不等式f（x+1）＜4，即有f（x+1）＜f（2）．運(yùn)用單調(diào)性即可解得．

解答： 解：（1）令x=y=0，f（0）=f²（0）⇒f（0）=0或f（0）=1，
又f（1）=2=f（1）f（0），∴f（0）≠0，故f（0）=1．
∵f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x），∴f（x）f（-x）=1，
∴?x∈（-∞，0），f(x)=

1

f(-x)

，∵當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）＞1，
∴0＜f（-x）＜1，
∴?x∈R，f（x）＞0，
∴f（-1）=

1

f(1)

=

1

2

（2）設(shè)x₁＜x₂，又∵?x∈R，f（x）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）-f（x₁）=f（x₁）（f（x₂-x₁）-1）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)．
（3）解：令x=y=1有f（2）=f²（1）=4，
∵f（x）在R上遞增，
不等式f（x+1）＜4即f（x+1）＜f（2）．
即有x+1＜2，即x＜1，故不等式的解集為（-∞，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用，解不等式，同時(shí)考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，屬于中檔題．