【題目】已知函數(shù)f(x)=4cosxsin(x)+a的最大值為2.
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)在給定的直角坐標(biāo)系上作出函數(shù)f(x)在[0,π]上的圖象:
(3)求函數(shù)f(x)在[,]上的零點(diǎn),
【答案】(1);(2)作圖見解析;(3)零點(diǎn)為和.
【解析】
(1)利用正弦的和角公式,以及輔助角公式化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)型正弦函數(shù),根據(jù)其最大值,即可求得參數(shù);
(2)根據(jù)(1)中所求,列表、描點(diǎn),即可求得函數(shù)在區(qū)間上的圖象;
(3)求出在上的零點(diǎn),再與取交集即可求得結(jié)果.
(1)f(x)=4cosxsin(x)+a=4cosx(sinxcosx)+a
=2sinxcosx+2cos2x+a
sin2x+cos2x+a+1=2sin(2x)+a+1
則f(x)的最大值為2+a+1=2,得a=﹣1.
(2)由(1)可得
列表如下:
用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π]的簡(jiǎn)圖,如圖所示;
(3)由得2xkπ,k∈Z,
則x,k∈Z,
由,得,即k=0或k=1,
當(dāng)k=0時(shí),x,當(dāng)k=1時(shí),x,
即函數(shù)在[,]上的零點(diǎn)為和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】風(fēng)景秀美的寶湖畔有四棵高大的銀杏樹,記作A,B,P,Q,湖岸部分地方圍有鐵絲網(wǎng)不能靠近.欲測(cè)量P,Q兩棵樹和A,P兩棵樹之間的距離,現(xiàn)可測(cè)得A,B兩點(diǎn)間的距離為100 m,∠PAB=75°,∠QAB=45°,∠PBA=60°,∠QBA=90°,如圖所示.則P,Q兩棵樹和A,P兩棵樹之間的距離各為多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐的底面ABCD為梯形,,則在面PBC內(nèi)
A. 一定存在與CD平行的直線
B. 一定存在與AD平行的直線
C. 一定存在與AD垂直的直線
D. 不存在與CD垂直的直線
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)求證:若函數(shù)在處取得極值,則對(duì)恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“劍橋?qū)W派”創(chuàng)始人之一數(shù)學(xué)家哈代說(shuō)過(guò):“數(shù)學(xué)家的造型,同畫家和詩(shī)人一樣,也應(yīng)當(dāng)是美麗的”;古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯創(chuàng)造的“黃金分割”給我們的生活處處帶來(lái)美;我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)造了優(yōu)美“弦圖”.“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形,如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較小的銳角為,則等于( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左,右頂點(diǎn)分別為右焦點(diǎn)為,直線是橢圓在點(diǎn)處的切線.設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn),直線與直線的交點(diǎn)為,且當(dāng)時(shí), 是等腰三角形.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于,當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),試判斷以為直徑的圓與直線的位置關(guān)系,并加以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠生產(chǎn)、兩種元件,其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為:大于或等于為正品,小于為次品.現(xiàn)從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取這兩種元件各件進(jìn)行檢測(cè),檢測(cè)結(jié)果記錄如下:
B |
由于表格被污損,數(shù)據(jù)、看不清,統(tǒng)計(jì)員只記得,且、兩種元件的檢測(cè)數(shù)據(jù)的平均值相等,方差也相等.
(1)求表格中與的值;
(2)從被檢測(cè)的件種元件中任取件,求件都為正品的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知一條動(dòng)直線3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0,
(1)求證:直線恒過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)若直線與x、y軸的正半軸分別交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),是否存在直線滿足下列條件:①△AOB的周長(zhǎng)為12;②△AOB的面積為6,若存在,求出方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)若直線與x、y軸的正半軸分別交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)取最小值時(shí),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某次考試后,對(duì)全班同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行整理,得到表:
分?jǐn)?shù)段 | ||||
人數(shù) | 5 | 15 | 20 | 10 |
將以上數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖后,可估計(jì)出本次考試成績(jī)的中位數(shù)是__________.
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