Question

某企業(yè)接到生產(chǎn)3 000臺(tái)某產(chǎn)品的A，B，C三種部件的訂單，每臺(tái)產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為2,2,1(單位：件)．已知每個(gè)工人每天可生產(chǎn)A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．該企業(yè)計(jì)劃安排200名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件，生產(chǎn)B部件的人數(shù)與生產(chǎn)A部件的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k(k為正整數(shù))．

(1)設(shè)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為x，分別寫出完成A，B，C三種部件生產(chǎn)需要的時(shí)間；

(2)假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時(shí)開(kāi)工，試確定正整數(shù)k的值，使完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，并給出時(shí)間最短的具體的人數(shù)分組方案．

Answer 1

解析　(1)設(shè)完成A，B，C三種部件的生產(chǎn)任務(wù)需要的時(shí)間(單位：天)分別為T₁(x)，T₂(x)，T₃(x)，由題設(shè)有

其中x，kx,200－(1＋k)x均為1到200之間的正整數(shù)．

(2)完成訂單任務(wù)的時(shí)間為f(x)＝max{T₁(x)，T₂(x)，T₃(x)}，其定義域?yàn)閧x|0<x<，x∈N^*}，易知，T₁(x)，T₂(x)為減函數(shù)，T₃(x)為增函數(shù)．注意到T₂(x)＝T₁(x)，于是

①當(dāng)k＝2時(shí)，T₁(x)＝T₂(x)，此時(shí)

f(x)＝max{T₁(x)，T₃(x)}＝max{，}．

由函數(shù)T₁(x)，T₃(x)的單調(diào)性知，當(dāng)時(shí)

f(x)取得最小值，解得x＝.由于44<<45，而f(44)＝T₁(44)＝，f(45)＝T₃(45)＝，所以最短時(shí)間f(44)＝.

②當(dāng)k>2時(shí)，T₁(x)>T₂(x)，由于k為正整數(shù)，故k≥3，此時(shí)

記T(x)＝，φ(x)＝max{T₁(x)，T(x)}，易知T(x)是增函數(shù)，則f(x)＝max{T₁(x)，T₃(x)}

≥max{T₁(x)，T(x)}＝φ(x)＝max

由函數(shù)T₁(x)，T(x)的單調(diào)性知，當(dāng)時(shí)φ(x)取最小值，解得x＝.由于36<<37，而φ(36)＝T₁(36)＝>，φ(37)＝T(37)＝>.此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間大于.

③當(dāng)k<2時(shí)，T₁(x)<T₂(x)，由于k為正整數(shù)，故k＝1，此時(shí)

f(x)＝max{T₂(x)，T₃(x)}＝max{，}．

由函數(shù)T₂(x)，T₃(x)的單調(diào)性知，當(dāng)＝時(shí)f(x)取最小值，解得x＝，類似①的討論，此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間為，大于.

綜上所述，當(dāng)k＝2時(shí)，完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，此時(shí)，生產(chǎn)A，B，C三種部件的人數(shù)分別為44,88,68.