已知橢圓
x2
9
+
y2
4
=1內(nèi)有一點(diǎn)P（2，1），過(guò)點(diǎn)P作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（1）若弦AB恰好被點(diǎn)P平分，求直線AB的方程；
（2）當(dāng)原點(diǎn)O到直線AB的距離取最大值時(shí)，求△AOB的面積．
分析：（1）利用“點(diǎn)差法”求得直線的斜率即可得到直線的方程；
（2）當(dāng)原點(diǎn)O到直線AB的距離取最大值時(shí)，滿足OP⊥AB，求出此時(shí)直線AB的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式及弦長(zhǎng)公式即可．
解答：解：（1）．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的斜率為k，
由A、B在橢圓上，得
x
2
1
9
+
y
2
1
4
=1     ①
x
2
2
9
+
y
2
2
4
=1    ②

又∵P（2，1）是AB的中點(diǎn)，∴
x1+x2=4
y1+y2=2
．
由①-②得 
(x1+x2)(x1-x2)
9
+
(y1+y2)(y1-y2)
4
=0，
∴k=
y1-y2
x1-x2
=-
8
9
．
∴直線AB的方程為y-1=-
8
9
（x-2），即  8x+9y-25=0；
（2）．當(dāng)原點(diǎn)O到直線AB的距離取最大值時(shí) 滿足：OP⊥AB．
∵kOP=
1
2
，∴kAB=-2，
∴直線AB的方程為 y-1=-2（x-2），即  2x+y-5=0．
聯(lián)立方程組 
2x+y-5=0
x2
9
+
y2
4
=1
得 40x2-180x+189=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則 
x1+x2=
9
2
x1x2=
189
40
，
∴|AB|=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=
3
2
3
．
∴S△AOB=
1
2
|OP||AB|=
3
4
15
．
點(diǎn)評(píng)：會(huì)應(yīng)用“點(diǎn)差法”解決有關(guān)中點(diǎn)弦的問(wèn)題；知道：當(dāng)原點(diǎn)O到直線AB的距離取最大值時(shí)滿足OP⊥AB，及熟練掌握點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，如圖，已知橢圓
x2
9
+
y2
5
=1的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F．設(shè)過(guò)點(diǎn)T（t，m）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，y2＜0．
（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF2-PB2=4，求點(diǎn)P的軌跡；
（2）設(shè)x1=2，x2=
1
3
，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（3）設(shè)t=9，求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
9
+y2=1，過(guò)左焦點(diǎn)F1傾斜角為
π
6
的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)．求弦AB的長(zhǎng)
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
9
+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上且
PF1
•
PF2
=0，則△PF1F2的面積是（　�。�
A、
1
2
B、
3
2
C、
3
3
D、1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
9
+
y2
4
=1與雙曲線
x2
4
-y2=1有共同焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則|PF1|•|PF2|=
5
5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知橢圓
x2
9
+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上且
PF1
•
PF2
=0，則△PF1F2的面積是（　�。�
A．
1
2
B．
3
2
C．
3
3
D．1

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