如圖①,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC=60°,E是BC的中點(diǎn).如圖②,將△ABE沿AE折起,使二面角BAEC成直二面角,連結(jié)BC、BD,F是CD的中點(diǎn),P是棱BC的中點(diǎn).求證:
圖①圖②
(1)AE⊥BD;
(2)平面PEF⊥平面AECD.
(1)見解析(2)見解析
【解析】(1)取AE中點(diǎn)M,連結(jié)BM、DM、DE.
∵在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC=60°,E是BC的中點(diǎn),∴△ABE與△ADE都是等邊三角形,∴BM⊥AE,DM⊥AE.∵BM∩DM=M,BM,DM平面BDM,∴AE⊥平面BDM.∵BD平面BDM,∴AE⊥BD.
(2)連結(jié)CM交EF于點(diǎn)N,連結(jié)PN.
∵ME∥FC,且ME=FC,∴四邊形MECF是平行四邊形,∴N是線段CM的中點(diǎn).∵P是線段BC的中點(diǎn),∴PN∥BM.∵BM⊥平面AECD,∴PN⊥平面AECD.∵PN平面PEF,∴平面PEF⊥平面AECD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點(diǎn)引領(lǐng)+技巧點(diǎn)撥第六章第2課時練習(xí)卷(解析版) 題型:填空題
設(shè)變量x、y滿足約束條件:則z=x-3y的最小值為________.
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已知l∥α,且l的方向向量為(2,m,1),平面α的法向量為,則m=________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點(diǎn)引領(lǐng)+技巧點(diǎn)撥第八章第5課時練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題
如圖,在球面上有四個點(diǎn)P、A、B、C,如果PA、PB、PC兩兩互相垂直,且PA=PB=PC=a,求這個球的表面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點(diǎn)引領(lǐng)+技巧點(diǎn)撥第八章第4課時練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題
如圖,AB、CD均為圓O的直徑,CE⊥圓O所在的平面,BF∥CE.求證:
(1)平面BCEF⊥平面ACE;
(2)直線DF∥平面ACE.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點(diǎn)引領(lǐng)+技巧點(diǎn)撥第八章第4課時練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題
如圖①,E、F分別是直角三角形ABC邊AB和AC的中點(diǎn),∠B=90°,沿EF將三角形ABC折成如圖②所示的銳二面角A1EFB,若M為線段A1C中點(diǎn).求證:
(1)直線FM∥平面A1EB;
(2)平面A1FC⊥平面A1BC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點(diǎn)引領(lǐng)+技巧點(diǎn)撥第八章第4課時練習(xí)卷(解析版) 題型:填空題
已知α、β、γ是三個不同的平面,命題“α∥β,且α⊥γβ⊥γ”是真命題,如果把α、β、γ中的任意兩個換成直線,另一個保持不變,在所得的所有新命題中,真命題的個數(shù)是________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點(diǎn)引領(lǐng)+技巧點(diǎn)撥第八章第3課時練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題
如圖,在四棱錐PABCD中,PD⊥底面ABCD,AD⊥AB,CD∥AB,AB=AD=2,CD=3,直線PA與底面ABCD所成角為60°,點(diǎn)M、N分別是PA、PB的中點(diǎn).求證:
(1)MN∥平面PCD;
(2)四邊形MNCD是直角梯形;
(3)DN⊥平面PCB.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點(diǎn)引領(lǐng)+技巧點(diǎn)撥第五章第6課時練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題
設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域為Dn,記Dn內(nèi)的整點(diǎn)個數(shù)為an(n∈N*)(整點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Tn=.若對于一切的正整數(shù)n,總有Tn≤m,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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