Question

11．已知復(fù)數(shù)$ω=-\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$
（1）分別計(jì)算ω² 和$\frac{1}{1+ω}$的值；
（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)ω對(duì)應(yīng)的向量為$\overrightarrow{OA}$，復(fù)數(shù)ω²對(duì)應(yīng)的向量為$\overrightarrow{OB}$．求向量$\overrightarrow{AB}$對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z及復(fù)數(shù)z的模．

Answer 1

分析 （1）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出．
（2）利用復(fù)數(shù)的幾何意義、模的計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）ω²=$（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）^{2}$=$\frac{1}{4}-\frac{3}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i=-$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$i，
∴$\frac{1}{1+ω}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}$=$\frac{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}{（\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）（\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i）}$=$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$i．
（2）$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$，
ω²-ω=-$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$i-$（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）$=$\sqrt{3}$i，
向量$\overrightarrow{AB}$對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z=$\sqrt{3}$i，|z|=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．