Question

7．已知函數(shù)f（x）=（1-m）lnx+$\frac{m}{2}{x^2}$-x，m∈R且m≠0．
（Ⅰ）當(dāng)m=2時(shí)，令g（x）=f（x）+log₂（3k-1），k為常數(shù)，求函數(shù)y=g（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞1-$\frac{1}{m}$在x∈[1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)f（x）的最小值，確定m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)m=2時(shí)，g（x）=-lnx+x²-x+log₂（3k-1），x＞0，
所以$g'（x）=-\frac{1}{x}+2x-1=\frac{{2{x^2}-x-1}}{x}=\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，
令g'（x）=0，解得x=1或$x=-\frac{1}{2}$（舍去），
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g'（x）＜0，所以y=g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，所以y=g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以x=1是y=g（x）的極小值點(diǎn)，y=g（x）的最小值為g（1）=log₂（3k-1）…（3分）
當(dāng)log₂（3k-1）=0，即$k=\frac{2}{3}$時(shí)，函數(shù)y=g（x）有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)log₂（3k-1）＞0，即$k＞\frac{2}{3}$時(shí)，函數(shù)y=g（x）沒(méi)有零點(diǎn)，
當(dāng)log₂（3k-1）＜0，即$\frac{1}{3}＜k＜\frac{2}{3}$時(shí)，函數(shù)y=g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)…（6分）
（Ⅱ）由已知$f'（x）=\frac{1-m}{x}+mx-1=\frac{[mx-（1-m）]（x-1）}{x}=\frac{{m（x-\frac{1-m}{m}）（x-1）}}{x}$，
令f'（x）=0，解得${x_1}=\frac{1-m}{m}，{x_2}=1$，由于$\frac{1-m}{m}-1=\frac{1-2m}{m}=\frac{{-2（m-\frac{1}{2}）}}{m}$，
①若m＜0，則${x_1}=\frac{1-m}{m}＜0$，故當(dāng)x≥1時(shí)，f'（x）≤0，因此f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以$f（x）≤f（1）=\frac{m}{2}-1＜0$，又因?yàn)?1-\frac{1}{m}＞0$，則$f（x）＞1-\frac{1}{m}$不成立…（8分） ②若$0＜m＜\frac{1}{2}$，則${x_1}=\frac{1-m}{m}＞1$，故當(dāng)$x∈[1，\frac{1-m}{m}）$時(shí)，f'（x）≤0；當(dāng)$x∈（\frac{1-m}{m}，+∞）$時(shí)，f'（x）＞0， 即f（x）在$[1，\frac{1-m}{m}）$上單調(diào)遞減，在$（\frac{1-m}{m}，+∞）$上單調(diào)遞增， 所以$f{（x）_{min}}=f（\frac{1-m}{m}）=（1-m）ln\frac{1-m}{m}+\frac{{{{（1-m）}^2}}}{2m}+1-\frac{1}{m}$， 因?yàn)?\frac{1-m}{m}＞1$，所以$（1-m）ln\frac{1-m}{m}+\frac{{{{（1-m）}^2}}}{2m}＞0$，
則$（1-m）ln\frac{1-m}{m}+\frac{{{{（1-m）}^2}}}{2m}+1-\frac{1}{m}＞1-\frac{1}{m}$，
因此當(dāng)$0＜m＜\frac{1}{2}$時(shí)，$f（x）＞1-\frac{1}{m}$恒成立 …（11分）
③若$m≥\frac{1}{2}$，則${x_1}=\frac{1-m}{m}≤1$，故當(dāng)x≥1時(shí)，f'（x）≥0，
因此f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
故$f{（x）_{min}}=f（1）=\frac{m}{2}-1$，令$\frac{m}{2}-1＞1-\frac{1}{m}$，化簡(jiǎn)得m²-4m+2＞0，
解得$（-∞，2-\sqrt{2}）∪（2+\sqrt{2}，+∞）$，所以$m∈[\frac{1}{2}，2-\sqrt{2}）∪（2+\sqrt{2}，+∞）$…（13分）
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是$（0，2-\sqrt{2}）∪（2+\sqrt{2}，+∞）$…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．