【題目】設函數(shù)f(x)=|xa|,a<0.

(1)證明:f(x)+f≥2;

(2)若不等式f(x)+f(2x)<的解集非空,求a的取值范圍.

【答案】(1)見解析(2)(-1,0)

【解析】試題分析:(1)運用絕對值不等式的性質和基本不等式,即可得證;

(2)通過對x的范圍的分類討論去掉絕對值符號,轉化為一次不等式,求得(f(x)+f(2x))min即可.

試題解析:

(1)證明:函數(shù)f(x)=|xa|,a<0,

f(x)+f=|xa|+

=|xa|+

=|x|+≥2

=2(當且僅當|x|=1時取等號).

(2)f(x)+f(2x)=|xa|+|2xa|,a<0.

xa時,f(x)+f(2x)=axa-2x=2a-3x,

f(x)+f(2x)≥-a;

a<x<時,f(x)+f(2x)=xaa-2x=-x

則-<f(x)+f(2x)<-a;

x時,f(x)+f(2x)=xa+2xa=3x-2a,

f(x)+f(2x)≥-

f(x)的值域為,若不等式f(x)+f(2x)<的解集非空,則需>-,

解得a>-1,又a<0,所以-1<a<0,

a的取值范圍是(-1,0).

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