Question

如圖，直四棱柱 的底面 是平行四邊形，， ，，點 是 的中點，點 在 且.

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求銳二面角平面角的余弦值．

 

Answer 1

（1）見解析；（2）.

【解析】

試題分析：(1)利用已知的垂直關系建立空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉化為向量運算.其中靈活建系是解題的關鍵.(2)證明證線面垂直，只需要證明直線的方向向量垂直與平面的法向量垂直；（3)把向量夾角的余弦值轉化為兩平面法向量夾角的余弦值;(4）空間向量將空間位置關系轉化為向量運算，應用的核心是要充分認識形體特征，建立恰當的坐標系，實施幾何問題代數化.同時注意兩點：一是正確寫出點、向量的坐標，準確運算；二是空間位置關系中判定定理與性質定理條件要完備.

試題解析：（Ⅰ）以為坐標原點，射線為軸的正半軸，建立如圖所示空間直角坐標系．則依題意,可得以下各點的坐標分別為．

∴

∴

∴，．又

∴ 平面．

（Ⅱ）設向量是平面的法向量，則 ，

而∴ ，

令得．

又∵是平面的法向量，

∴ ．

所以銳二面角平面角的余弦值為．

考點：利用空間向量證明線面垂直和求夾角 .