設(shè)是數(shù)列的前項和,對任意都有成立, (其中、、是常數(shù)).
(1)當,,時,求;
(2)當,,時,
①若,,求數(shù)列的通項公式;
②設(shè)數(shù)列中任意(不同)兩項之和仍是該數(shù)列中的一項,則稱該數(shù)列是“數(shù)列”.
如果,試問:是否存在數(shù)列為“數(shù)列”,使得對任意,都有
,且.若存在,求數(shù)列的首項的所
有取值構(gòu)成的集合;若不存在,說明理由.
(1)=;(2)①;②存在,首項的所有取值構(gòu)成的集合為.
解析試題分析:(1)要求,大多數(shù)時候要先求,本題實質(zhì)就是有關(guān)系式,那么我們可以用代得,兩式相減,可得出與的關(guān)系,本題正好得到數(shù)列是等比數(shù)列,故易求得和;(2) 實質(zhì)上的關(guān)系式是,這讓我們聯(lián)想到數(shù)列是等差數(shù)列,這里難點就在于證明是等差數(shù)列,證明方法是把等式中的用換得到一個式子,兩式相減可得,此式中含有常數(shù),故再一次用代換此式中的,兩式相減可消去得數(shù)列的連續(xù)三項的關(guān)系,可證得是等差數(shù)列,那么這里①的通項公式易求;對于②這類問題總是假設(shè)存在,然后去求,假設(shè)存在時,可知數(shù)列公差是2,即,由于它是“數(shù)列”,故任意兩項和還是數(shù)列中的項,即,可得是偶數(shù),又由,得,娵,從而,下面對的值一一驗證是否符合已知條件,
試題解析:(1)當,,時,由得
①
用去代得,, ②
②—①得,,,
在①中令得,,則0,∴,
∴數(shù)列是以首項為1,公比為3的等比數(shù)列,
∴=
(2)當,,時,
, ③
用去代得,, ④
④—③得, , ⑤
用去代得,, ⑥
⑥—⑤得,,即,
∴數(shù)列是等差數(shù)列.∵,,
∴公差,∴
易知數(shù)列
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設(shè)無窮數(shù)列的首項,前項和為(),且點在直線上(為與無關(guān)的正實數(shù)).
(1)求證:數(shù)列()為等比數(shù)列;
(2)記數(shù)列的公比為,數(shù)列滿足,設(shè),求數(shù)列的前項和;
(3)若(2)中數(shù)列{Cn}的前n項和Tn當時不等式恒成立,求實數(shù)a的取值范圍。
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數(shù)列、的每一項都是正數(shù),,,且、、成等差數(shù)列,、、成等比數(shù)列,.
(Ⅰ)求、的值;
(Ⅱ)求數(shù)列、的通項公式;
(Ⅲ)證明:對一切正整數(shù),有.
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已知數(shù)列的前項和為記
(1)若數(shù)列是首項與公差均為的等差數(shù)列,求;
(2)若且數(shù)列均是公比為的等比數(shù)列,
求證:對任意正整數(shù),
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在數(shù)列中,前n項和為,且.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)設(shè),數(shù)列前n項和為,求的取值范圍.
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(本小題滿分13分)已知等比數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的前15項的和;
(2)若等差數(shù)列滿足,,求數(shù)列的前項的和
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設(shè)是公差大于零的等差數(shù)列,已知,.
(Ⅰ)求的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)是以函數(shù)的最小正周期為首項,以為公比的等比數(shù)列,求數(shù)列的前項和.
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已知為等比數(shù)列,是等差數(shù)列,
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式及前項和;
(2)設(shè),,其中,試比較與的大小,并加以證明.
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設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列,為數(shù)列的前項和.已知,且構(gòu)成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)令,求數(shù)列的前項和.
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