Question

4．向量$\overrightarrow a$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow b$=（1，$\sqrt{3}$），則|${\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b}$|的取值范圍是[3，5]．

Answer 1

分析 由題設(shè)求出$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$的坐標(biāo)，再求出其模的表達(dá)式，利用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)即可求出其取值范圍．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow$=（1，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$=（cosθ-2，sinθ-2$\sqrt{3}$），
∴${（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）}^{2}$=（cosθ-2）²+${（sinθ-2\sqrt{3}）}^{2}$
=-4cosθ-4$\sqrt{3}$sinθ+17
=-8sin（θ+$\frac{π}{6}$）+17；
∵-1≤sin（θ+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴9≤-8sin（θ+$\frac{π}{6}$）≤25，
∴3≤|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|≤5，
即|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|的取值范圍是[3，5]．
故答案為：[3，5]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量求模公式和三角函數(shù)最值的求法問(wèn)題，是綜合性題目．