Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2xtanθ-1，θ∈（-

π

2

，

π

2

）．
（Ⅰ）若f（x）在x∈[-1，

3

]上為單調(diào)函數(shù)，求θ的取值范圍；
（Ⅱ）若當(dāng)θ∈[-

π

3

，

π

3

]時(shí)，y=f（x）在[-1，

3

]上的最小值為g（θ），求g（θ）的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f（x）為二次函數(shù)，所以求出對(duì)稱軸為x=-tanθ，所以可得到-tanθ≤-1，或-tanθ≥

3

，再根據(jù)已知的θ∈(-

π

2

，

π

2

)求出θ的取值范圍即可；
（Ⅱ）由θ∈[-

π

3

，

π

3

]可求出-tanθ∈[-

3

，

3

]，所以討論-

3

≤-tanθ≤-1，及-1＜-tanθ≤

3

，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及取得頂點(diǎn)的情況即可求出y=f（x）在[-1，

3

]上的最小值g（θ）．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的對(duì)稱軸為x=-tanθ；
∴由f（x）在[-1，

3

]上為單調(diào)函數(shù)得：
-tanθ≤-1，或-tanθ≥

3

；
即tanθ≥1，或tanθ≤-

3

；
又θ∈(-

π

2

，

π

2

)；
∴θ∈[

π

4

，

π

2

)，或θ∈(-

π

2

，-

π

3

]；
∴θ的取值范圍為(-

π

2

，-

π

3

]∪[

π

4

，

π

2

)；
（Ⅱ）θ∈[-

π

3

，

π

3

]時(shí)，-tanθ∈[-

3

，

3

]；
∴①當(dāng)-

3

≤-tanθ≤-1，即

π

4

≤θ≤

π

3

時(shí)，f（x）在[-1，

3

]上單調(diào)遞增；
∴g（θ）=f（-1）=-2tanθ；
②當(dāng)-1＜-tanθ≤

3

，即-

π

3

≤θ＜

π

4

時(shí)，g（θ）=f（-tanθ）=-tan²θ-1；
∴g(θ)=

-tan2θ-1 - π 3 ≤θ＜ π 4 -2tanθ π 4 ≤θ≤ π 3

．

點(diǎn)評(píng)：考查二次函數(shù)的對(duì)稱軸，二次函數(shù)的單調(diào)性，以及正切函數(shù)的圖象，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及取得頂點(diǎn)的情況求最值．