Question

【題目】已知坐標(biāo)平面上點(diǎn)M（x，y）與兩個(gè)定點(diǎn)M1（26，1），M2（2，1）的距離之比等于5．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形；
（2）記（1）中的軌跡為C，過(guò)點(diǎn)A（﹣2，3）的直線l被C所截得的線段的長(zhǎng)為8，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意坐標(biāo)平面上點(diǎn)M（x，y）與兩個(gè)定點(diǎn)M1（26，1），M2（2，1）的距離之比等于5，

得 =5. ，化簡(jiǎn)得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23=0．

即（x﹣1）2+（y﹣1）2=25．

∴點(diǎn)M的軌跡方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=25，

所求軌跡是以（1，1）為圓心，以5為半徑的圓

（2）解：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)A（﹣2，3）的直線l：x=﹣2，

此時(shí)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，3）的直線l被圓所截得的線段的長(zhǎng)為：2 =8，

∴l(xiāng)：x=﹣2符合題意．

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，3）的直線l的方程為y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，

圓心到l的距離d= ，

由題意，得 +42=52，解得k= ．∴直線l的方程為 x﹣y+ =0．即5x﹣12y+46=0．

綜上，直線l的方程為x=﹣2，或5x﹣12y+46=0

【解析】（1）直接利用距離的比，列出方程即可求點(diǎn)M的軌跡方程，然后說(shuō)明軌跡是什么圖形；（2）設(shè)出直線方程，利用圓心到直線的距離，半徑與半弦長(zhǎng)滿足的勾股定理，求出直線l的方程．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解點(diǎn)到直線的距離公式的相關(guān)知識(shí)，掌握點(diǎn)到直線的距離為：．