Question

在一定面積的水域中養(yǎng)殖某種魚類，每個(gè)網(wǎng)箱的產(chǎn)量p是網(wǎng)箱個(gè)數(shù)x的一次函數(shù)，即p（x）=kx+b（k≠0）．如果放置4個(gè)網(wǎng)箱，則每個(gè)網(wǎng)箱的產(chǎn)量為16噸；如果放置7個(gè)網(wǎng)箱，則每個(gè)網(wǎng)箱的產(chǎn)量為10噸．由于該水域面積限制，最多只能放置10個(gè)網(wǎng)箱．
（Ⅰ）求p（x），并說明放置多少個(gè)網(wǎng)箱時(shí)，總產(chǎn)量Q達(dá)到最高，最高為多少？
（Ⅱ）若魚的市場(chǎng)價(jià)為

1

4

萬元/噸，養(yǎng)殖的總成本為5lnx+1萬元，則應(yīng)放置多少個(gè)網(wǎng)箱才能使總收益y最高？（注：不必求出y的最大值）

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出一次函數(shù)，利用如果放置4個(gè)網(wǎng)箱，則每個(gè)網(wǎng)箱的產(chǎn)量為16噸；如果放置7個(gè)網(wǎng)箱，則每個(gè)網(wǎng)箱的產(chǎn)量為10噸，求出函數(shù)解析式，即可求得總產(chǎn)量函數(shù)，再利用配方法，即可求得最大值；
（Ⅱ）確定總收益函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的極值，即是最值；

解答：解：（Ⅰ）設(shè)p=kx+b，由已知得

16=4k+b 10=7k+b

，∴

k=-2 b=24

∴p=-2x+24
∴Q=px=（-2x+24）x=-2（x-6）²+72（x∈N₊，x≤10）
∴當(dāng)x=6時(shí)，f（x）最大
即放置6個(gè)網(wǎng)箱時(shí)，可使綜產(chǎn)量達(dá)到最大，最高為72噸；
（Ⅱ）總收益y=(-2x2+24x)×

1

4

-(5lnx+1)=-

1

2

x2+6x-5lnx-1（x∈N^*，且x≤10）
y′=-x+6-

5

x

=

-x2+6x-5

x

=

-(x-1)(x-5)

5

令y'=0，解得x=1或x=5
當(dāng)變化x時(shí)，可得y及y'的變化情況如下表：

x	（1，5）	5	（5，10）
y'	+	0	-
y	↗	極大值	↘

由表知，當(dāng)x=5時(shí)，y取得極大值，也就是最大值．
∴放置5個(gè)網(wǎng)箱時(shí)，可使總收益y最高．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，解題的關(guān)鍵是建立函數(shù)模型，利用導(dǎo)數(shù)求最值．