Question

（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐P－ABCD，側(cè)面PAD為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，∠DAB＝60°．

（1）證明：∠PBC＝90°；

（2）若PB＝3，求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

(1)取AD中點(diǎn)O，連OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，

又OP∩OB＝O，∴AD⊥平面POB，∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，∵PB平面POB，

∴BC⊥PB，即∠PBC＝90°.

(2)如圖，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，由PO＝BO＝，PB＝3，得∠POB＝120°，∴∠POz＝30°，∴P(0，－，)，則＝(－1，，0)，

＝(－1,0,0)，＝(0，，－)，設(shè)平面PBC的法向量為n＝(x，y，z)，則，取z＝，則n＝(0,1，)，

設(shè)直線AB與平面PBC所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈，n〉|＝.

【解析】本試題主要是考查了四棱錐中線面角的求解以及線面的垂直性質(zhì)定理的運(yùn)用。

（1）因?yàn)槿�AD中點(diǎn)O，連OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，

又OP∩OB＝O，∴AD⊥平面POB，∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，這樣可得到結(jié)論。

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，然后設(shè)出法向量坐標(biāo)，利用向量的夾角公式得到結(jié)論。