Question

如圖所示的幾何體中，△ABC為正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)G在AB上，試確定G點(diǎn)位置，使FG∥平面ADE，并加以證明；
（2）求DB與平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)G是AB的中點(diǎn)時(shí)，GF∥平面ADE．G是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)?GF∥AE?FG∥平面ADE；
（2）先根據(jù)（1）的結(jié)論得四邊形CDFG為平行四邊形以及根據(jù)AE⊥CG；再借助于△ABC為正三角形，G為AB中點(diǎn)得到CG⊥AB；進(jìn)而得到∠DBF為所求線面角；然后在RT△DBF中根據(jù)邊長求出∠DBF的正弦值即可．

解答：解：（1）當(dāng)G是AB的中點(diǎn)時(shí)，GF∥平面ADE．
證明：因?yàn)镚是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)．
所以GF∥AE．
又GF?平面ADE．AE⊆平面ADE．
∴GF∥平面ADE．
（2）連接CG．由（1）可知：GF∥AE且GF=

1

2

AE．
又AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC．
所以CD∥AE，CD=

1

2

AE．
∴CD∥GF，GF=CD
∴四邊形CDFG為平行四邊形．
∴DF∥CG且DF=CG．
又因?yàn)锳E⊥平面ABC，CG⊆平面ABC．
所以AE⊥CG．
∵△ABC為正三角形，G為AB中點(diǎn)．
∴CG⊥AB．
∴DF⊥AE且DF⊥AB．
∴DF⊥面ABE
所以∠DBF為所求線面角．
又DF=AG=

3

，DB=

5

，
∴sin∠DBF=

15

5

．

點(diǎn)評：本題主要考查線面平行的證明以及線面所成角的求法．在證明線面平行時(shí)，一般先證線線平行或面面平行．