Question

4．（1）求中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距等于4，且經(jīng)過點(diǎn)P$（3，-2\sqrt{6}）$的橢圓方程；
（2）過橢圓x²+2y²=2的左焦點(diǎn)引一條傾斜角為45°的直線與橢圓交A、B兩點(diǎn)，橢圓的中心為O，求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出橢圓的方程，得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可；
（2）由題設(shè)條件求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AB的方程，把直線AB代入橢圓方程，求出線段AB的長，再由點(diǎn)到直線距離公式求出原點(diǎn)到直線AB的距離，由此能求出△AOB的面積．

解答 解：（1）∵焦點(diǎn)在x軸上，焦距等于4，
∴2c=4，c=2，c²=4，
設(shè)橢圓的方程是$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{24}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}{=b}^{2}+4}\end{array}\right.$，
解得：a²=36，b²=32，
故橢圓的方程是：$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{32}=1$；
 （2）把橢圓x²+2y²=2轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
∵a²=2，b²=1，
∴橢圓x²+2y²=2的焦點(diǎn)F₁（1，0），F(xiàn)₂（-1，0），
∵過橢圓x²+2y²=2的焦點(diǎn)引一條傾斜角為45°的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，
設(shè)直線AB過焦點(diǎn)F₁（1，0），
∴直線AB的方程為y=x-1，
聯(lián)立方程組 $\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{2y}^{2}=2}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，
整理，得4x²-4x=0，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{4}{3}}\\{{y}_{2}=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴|AB|=$\sqrt{{（1-0）}^{2}{+（0+1）}^{2}}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$，
∵原點(diǎn)O到直線AB：y=x-1的距離d=$\frac{|0-0-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形面積的求法，涉及到橢圓性質(zhì)、直線方程、點(diǎn)到直線距離公式等知識(shí)點(diǎn)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．