Question

（本題滿分12分）

已知函數(shù)，其中為實數(shù)．

(Ⅰ)當時，求曲線在點處的切線方程；

(Ⅱ)是否存在實數(shù)，使得對任意，恒成立?若不存在，請說明理由，若存在，求出的值并加以證明．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)

(Ⅱ) 存在實數(shù)，使得對任意，恒成立

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運用，以及運用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的 最值綜合運用。

（1）由已知關(guān)系式得到函數(shù)的定義域，然后把a=2代入原式中，求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)值即為該點的切線的斜率來求解得到切線方程。

（2）由于要是不等式恒成立，需要對原式進行變形，將分式轉(zhuǎn)化為整式，然后構(gòu)造函數(shù)求解最值得到參數(shù)的范圍。

解：（Ⅰ）時，，

，，

又

所以切線方程為              ………6分

（Ⅱ）1°當時，，則

令，，

再令，

當時，∴在上遞減，

∴當時，，

∴，所以在上遞增，，

所以

2°時，，則

由1°知當時，在上遞增

當時，，

所以在上遞增，∴

∴；

由1°及2°得：                        ………12分