【題目】已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)判斷并證明f(x)在(﹣∞,+∞)上的單調(diào)性;
(3)若對任意實(shí)數(shù)t∈R,不等式f(kt2﹣kt)+f(2﹣kt)<0恒成立,求k的取值范圍.

【答案】
(1)解:由于定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù),

,解得

即有f(x)= ,經(jīng)檢驗(yàn)成立


(2)解:f(x)在(﹣∞,+∞)上是減函數(shù).

證明:設(shè)任意x1<x2,

f(x1)﹣f(x2)= = ,

由于x1<x2,則2x1<2x2,則有f(x1)>f(x2),

故f(x)在(﹣∞,+∞)上是減函數(shù)


(3)解:不等式f(kt2﹣kt)+f(2﹣kt)<0,

由奇函數(shù)f(x)得到f(﹣x)=﹣f(x),

f(kt2﹣kt)<﹣f(2﹣kt)=f(kt﹣2),

再由f(x)在(﹣∞,+∞)上是減函數(shù),

則kt2﹣kt>kt﹣2,即有kt2﹣2kt+2>0對t∈R恒成立,

∴k=0或 即有k=0或0<k<2,

綜上:0≤k<2


【解析】(1)由奇函數(shù)的條件可得 即可得到a,b;(2)運(yùn)用單調(diào)性的定義,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,即可得證;(3)不等式f(kt2﹣kt)+f(2﹣kt)<0,由奇函數(shù)f(x)得到f(﹣x)=﹣f(x),f(kt2﹣kt)<﹣f(2﹣kt)=f(kt﹣2),再由單調(diào)性,即可得到kt2﹣2kt+2>0對t∈R恒成立,討論k=0或k>0,△<0解出即可.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(2)求當(dāng)時(shí), 恒成立的的取值范圍,并證明

.

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【題目】已知函數(shù)f(x)=loga(x2﹣3ax)對任意的x1 , x2∈[ ,+∞),x1≠x2時(shí)都滿足 <0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(0,1)
B.(0, ]
C.(0,
D.( , ]

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【題目】在四棱錐中,底面是矩形, 平面, 是等腰三角形, , 的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)),的延長線與的延長線交于點(diǎn),連接

(1)求證:

(2)求證:在線段上可以分別找到兩點(diǎn), ,使得直線平面,并分別求出此時(shí)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù) , ,其中a>0,且a≠1.
(1)若0<a<1,求滿足不等式f(x)<1的x的取值的集合;
(2)求關(guān)于x的不等式f(x)≥g(x)的解的集合.

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【題目】已知圓C的圓心在直線x﹣2y=0上.
(1)若圓C與y軸的正半軸相切,且該圓截x軸所得弦的長為2 ,求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)在(1)的條件下,直線l:y=﹣2x+b與圓C交于兩點(diǎn)A,B,若以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O,求實(shí)數(shù)b的值;
(3)已知點(diǎn)N(0,3),圓C的半徑為3,且圓心C在第一象限,若圓C上存在點(diǎn)M,使MN=2MO(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求圓心C的縱坐標(biāo)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=2x , |(x≥0),圖象如圖所示.函數(shù)g(x)=﹣x2﹣2x+a,(x<0),其圖象經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,2).

(1)求實(shí)數(shù)a的值,并在所給直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)做出函數(shù)g(x)的圖象;
(2)設(shè)h(x)= ,根據(jù)h(x)的圖象寫出其單調(diào)區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AA1=2,∠ABC=90°,點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn),當(dāng)二面角C1﹣AA1﹣B為45o時(shí),直線EF和BC1所成的角為(
A.45o
B.60o
C.90o
D.120o

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓C 的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,設(shè)離心率為e,且滿足,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)過點(diǎn)的直線l與橢圓交于M,N兩點(diǎn),求△OMN面積的最大值.

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