設(shè)a,b,c都是正數(shù)，求證：a+b+c≤.

證明：由題意不妨設(shè)a≥b≥c＞0.

由不等式的性質(zhì)，知a2≥b2≥c2,ab≥ac≥bc.

根據(jù)排序原理，得

a2bc+ab2c+abc2≤a3c+b3a+c3b.①

又由不等式的性質(zhì)，知a3≥b3≥c3,且a≥b≥c.

再根據(jù)排序原理，得

a3c+b3a+c3b≤a4+b4+c4.②

由①②及不等式的傳遞性，得

a2bc+ab2c+abc2≤a4+b4+c4.

兩邊同除以abc得證不等式成立.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a,b,c都是正數(shù)，則三個(gè)數(shù)a+,b+,c+…（    ）

A.都大于2

B.至少有一個(gè)大于2

C.至少有一個(gè)不小于2

D.至少有一個(gè)不大于2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a,b,c都是正數(shù)，求證：

（1）（a+b+c)≥9;

(2)(a+b+c) ≥.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：河南省南陽市2009-2010學(xué)年春期期中考試高二數(shù)學(xué)考試（理科） 題型：選擇題

設(shè)a,b,c都是正數(shù)，則三個(gè)數(shù)a+,b+,c+（     ）。

A .都大于2                          B .至少有一個(gè)大于2

C .至少有一個(gè)不小于2                D .至少有一個(gè)不大于2

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：河南省南陽市2009-2010學(xué)年春期期中考試高二數(shù)學(xué)考試（文科） 題型：選擇題

設(shè)a,b,c都是正數(shù)，則三個(gè)數(shù)a+,b+,c+（     ）

A  .都大于2                          B .至少有一個(gè)大于2

C .至少有一個(gè)不小于2                 D .至少有一個(gè)不大于2

 

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