Question

已知△ABC滿足

AB

2=2

BA

•

CA

，則△ABC的形狀為（　�。�

• A、直角三角形
• B、等邊三角形
• C、等腰直角三角形
• D、等腰三角形

Answer 1

分析：把已知的等式左邊利用

a

2=|

a

|2化簡，右邊利用

a

•

b

=|

a

||

b

|cosα（其中α為兩向量的夾角）化簡，然后在利用正弦定理把邊化為角后，根據(jù)C為三角形的內(nèi)角可得sinC不為0，在等式兩邊同時(shí)除以sinC，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式可得sinC=sin（A+B），利用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡，移項(xiàng)合并后再利用兩角差的正弦函數(shù)公式化簡，可得sin（A-B）=0，由A和B都為三角形的內(nèi)角，可得A=B，從而利用等角對等邊可得三角形為等腰三角形．

解答：解：根據(jù)

AB

2=2

BA

•

CA

得到：c²=2bccosA，
由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

=2R，可得sin²C=2sinBsinCcosA，
又C為三角形的內(nèi)角，得到sinC≠0，
可得sinC=2sinBcosA，
又sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B），
∴sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA，即sinAcosB-cosAsinB=0，
∴sin（A-B）=0，且A和B都為三角形的內(nèi)角，
∴A=B，
則△ABC的形狀為等腰三角形．
故選D

點(diǎn)評：此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識有平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦定理，誘導(dǎo)公式，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，其中利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則及正弦定理化簡已知的等式是本題的突破點(diǎn)，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．