【題目】定義區(qū)間的長度均為,其中

(1)若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>值域?yàn)?/span>寫出區(qū)間長度的最大值；

(2)若關(guān)于的不等式組的解集構(gòu)成的各區(qū)間長度和為6,求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(3)已知求證:關(guān)于的不等式的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和為定值.

【答案】（1）；（2）；（3）定值為，證明見解析.

【解析】

（1）令求得函數(shù)的零點(diǎn)，令，求得定義域區(qū)間長度最大時的值.

（2）先求得不等式的解集，設(shè)不等式的解集為，根據(jù)的長度為列不等式組，由此求得的取值范圍.

（3）將原不等式轉(zhuǎn)化為分式不等式的形式，結(jié)合高次不等式的解法，求得不等式的解集，進(jìn)而求得不等式解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和為定值.

（1）令，解得，此時為函數(shù)的最小值.令，解得，.故定義域區(qū)間長度最大時，故區(qū)間的長度為.

（2）由得，解得，記.設(shè)不等式的解集為，不等式組的解集為.

設(shè)不等式等價于，所以，，由于不等式組的解集的個區(qū)間長度和為，所以不等式組，當(dāng)是恒成立.

當(dāng)時，不等式恒成立，得.

當(dāng)時，不等式恒成立，分離常數(shù)得恒成立. 當(dāng)時，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，所以實(shí)數(shù).

（3）原不等式可化為

①.

令，其判別式，所以有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)，則，根據(jù)求根公式可求得.而，.

i)當(dāng)時，不等式①等價于，解得，即不等式①的解集為，區(qū)間長度為.

ii)當(dāng)時，不妨設(shè)，則，，所以.此時不等式①即，解得或，即不等式①的解集為，區(qū)間的長度為.

綜上所述，關(guān)于的不等式的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和為定值.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，、為左、右焦點(diǎn)，焦距是實(shí)軸長的倍，雙曲線過點(diǎn).

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（2）若點(diǎn)在雙曲線上，求證：點(diǎn)在以為直徑的圓上；

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根據(jù)評估綜合得分，統(tǒng)計(jì)整理得到了甲型號的樣本頻數(shù)分布表和乙型號的樣本頻率分布直方圖（圖表如下）.

甲型 乙型

（Ⅰ）從廠家生產(chǎn)的乙型凈化器中隨機(jī)抽取一件，估計(jì)這件產(chǎn)品為二級品的概率；

（Ⅱ）從廠家生產(chǎn)的乙型凈化器中隨機(jī)抽取3件，設(shè)隨機(jī)變量為其中二級品的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）根據(jù)圖表數(shù)據(jù)，請自定標(biāo)準(zhǔn)，對甲、乙兩種型號汽車尾氣凈化器的優(yōu)劣情況進(jìn)行比較.

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【題目】已知橢圓： 的左，右焦點(diǎn)分別為，且與短軸的一個端點(diǎn)Q構(gòu)成一個等腰直角三角形，點(diǎn)P（）在橢圓上，過點(diǎn)作互相垂直且與x軸不重合的兩直線AB，CD分別交橢圓于A，B，C，D且M，N分別是弦AB，CD的中點(diǎn)

(1)求橢圓的方程

(2)求證：直線MN過定點(diǎn)R（）

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（1）討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由；

（2）已知為給定實(shí)數(shù)，求的表達(dá)式；

（3）把函數(shù)，的最大值記作，最小值記作，研究函數(shù)，的單調(diào)性，令，若恒成立，求的取值范圍.

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（3）若且，數(shù)列有最大值M與最小值，求的取值范圍.

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