Question

已知從A地去B地有甲、乙兩條路可走，汽車走甲路堵車的概率為

1

4

，汽車走乙路堵車的概率為

1

3

，若有三輛汽車走甲路，有一輛汽車走乙路，且走甲路的三輛汽車是否堵車相互之間沒(méi)有影響．
（1）求走甲路的三輛汽車中恰有一輛汽車被堵的概率；
（2）求這四輛汽車被堵的車輛數(shù)X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析：（1）求走甲路的三輛汽車中恰有一輛汽車被堵的概率為

C

1 3

×

1

4

×(1-

1

4

)2，計(jì)算求得結(jié)果．
（2）先求得這四輛汽車被堵的車輛數(shù)X的概的取值為 0，1，2，3，4，再求出X取每個(gè)值的概率，可得離散型隨機(jī)變量X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）求走甲路的三輛汽車中恰有一輛汽車被堵的概率為

C

1 3

×

1

4

×(1-

1

4

)2=

27

64

．
（2）這四輛汽車被堵的車輛數(shù)X的概的取值為 0，1，2，3，4，
P（X=0）=

C

0 3

×(

3

4

)3×

2

3

=

9

32

，P（X=1）=

C

1 3

×

1

4

×(

3

4

)2+

C

0 3

×(

3

4

)3×

1

3

=

27

64

，
P（X=2）=

C

2 3

×(

1

4

)2×

3

4

×

2

3

+

C

1 3

×

1

4

×(

3

4

)2×

1

3

=

15

64

，P（X=3）=

C

3 3

×(

1

4

)3×

2

3

+

C

2 3

×(

1

4

)2×

3

4

×

1

3

=

11

192

，
P（X=4）=(

1

4

)3×

1

3

=

1

192

．
∴X的概率分布為

X	0	1	2	3	4
P	9 32	27 64	15 64	11 192	1 192

∴EX=0×

9

32

+1×

27

64

+3×

11

192

+4×

1

192

=

13

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，離散型隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題．