Question

已知圓C：（x+1）²+y²=4和圓外一點(diǎn)A（1，2

3

），
（1）若直線m經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O且圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線m的距離為1，求直線m的方程；
（2）若經(jīng)過(guò)A的直線l與圓C相切，切點(diǎn)分別為D，E，求切線方程及DE所在的直線方程．

Answer 1

分析：（1）圓C的圓心為（-1，0），半徑r=2，圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線m的距離為1，則圓心到直線m的距離恰為1，由于直線m經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，圓心到直線m的距離最大值為1．所以滿足條件的直線就是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且垂直于OC的直線，故直線方程可求；
（2）先假設(shè)直線方程，再利用點(diǎn)線距離等于半徑求解，需注意斜率不存在時(shí)也成立；求過(guò)切點(diǎn)的直線方程只需要將兩圓方程相減即得．

解答：解：（1）圓C的圓心為（-1，0），半徑r=2，圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線m的距離為1
則圓心到直線m的距離恰為1…（2分）
設(shè)直線方程為y=kx，d=

|-k-0|

1+k2

=1，k無(wú)解…（3分）
直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=0顯然成立，所以所求直線為x=0…（5分）
（2）設(shè)直線方程為y-2

3

=k（x-1），d=

|-2k+2 3 |

1+k2

=2，k=

3

3

所求直線為y-2

3

=

3

3

(x-1)，即

3

x-3y+5

3

=0…（6分）
斜率不存在時(shí)，直線方程為x=1…（7分）
過(guò)點(diǎn)CDEA有一外接圓，x2+(y-

3

)2=4，即x2+y2-2

3

y-1=0
過(guò)切點(diǎn)的直線方程x+

3

y-1=0…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓軛位置關(guān)系，要充分利用圓的特殊性簡(jiǎn)化解題．