Question

（1）設(shè)全集為R，集合，若不等式t²+at+b≤0的解集是A，求a，b的值．
（2）已知集合，若M∩N=Φ，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（本小題滿分14分）
解：（1）∵≤x≤，∴≤2x-≤，…（2分）
∴sin（2x-）∈[，1]，
∴A={t|≤t≤1}，…（4分）
∴是方程x²+ax+b=0的兩根，…（5分）
∴，解得：，…（7分）
（2）由集合M中的不等式=，
∵＜1，∴指數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，
∴x²-x-6≥0，即（x-3）（x+2）≥0，
解得：x≥3或x≤-2，
∴M={x|x≥3或x≤-2}，…（9分）
由集合N中的不等式log₄（x+m）≤1=，
∵4＞1，∴對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，
∴x+m≤4，且x+m＞0，
解得：-m＜x≤4-m，
∴N={x|-m＜x≤4-m}，…（11分）
∵M∩N=∅，
∴，…（13分）
可得1＜m≤2．…（14分）
分析：（1）由x的范圍，求出2x-的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出此時正弦函數(shù)sin（2x-）的值域，即為t的取值范圍，確定出集合A，再由不等式t²+at+b≤0的解集是A，得到集合A中解集中的兩個端點為方程x²+ax+b=0的兩根，利用韋達定理列出關(guān)于a與b的方程，求出方程的解即可得到a與b的值；
（2）把集合M中的不等式右邊的“1”變?yōu)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/23358.png' />，根據(jù)小于1，得到指數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，可列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范圍，確定出集合M，把集合N中的不等式右邊的“1”變?yōu)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/23359.png' />，根據(jù)4大于1，得到對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，且根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范圍，確定出集合N，然后根據(jù)兩集合的交集為空集，可得出m的取值范圍．
點評：此題考查了其他不等式的解法，涉及的知識有：集合中參數(shù)的取值問題，指、對數(shù)函數(shù)的增減性，正弦函數(shù)的定義域與值域，韋達定理，以及一元一次不等式的解法，利用了轉(zhuǎn)化的思想，是高考中常考的題型．