Question

已知向量=（cos x，0），=（0，sin x），記函數(shù)f（x）=（+）²+sin 2x，
（1）求函數(shù)f（x）的最小值及取最小值x的集合；
（2）若將函數(shù)f（x）的圖象按向量平移后，得到的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點中心對稱且在[0，]上單調(diào)遞減，求長度最小的．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=（+）²+sin 2x=3cos²x+sin²x+sin2x=2cos（2x-）+2 …（3分）
∴f（x）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)2x-=2kπ+π，即x=kπ+，k∈Z時取到等號．
∴函數(shù)f（x）的最小值是0，此時x的集合是{x|x=kπ+，k∈Z} …（6分）
（2）設(shè)=（m，n），函數(shù)f（x） 的圖象平移后對應(yīng)的函數(shù)為g（x），則g（x）=2cos[2（x-m）-]+2+n
由題意函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點中心對稱，得
cos[2（0-m）-]=0，且2+n=0，解得m=kπ+，k∈Z，且n=-2 …（8分）
①當(dāng)m=kπ+，k∈Z時，g（x）=2cos（2x-）=2sin 2x，在[0，]上單調(diào)遞增，不符合題意，舍去；
②當(dāng)m=kπ+，k∈Z時，g（x）=2cos（2x+）=-2sin 2x，在[0，]上單調(diào)遞減，符合題意．…（10分）
∴=（ kπ+，-2），k∈Z【若求出的結(jié)果是（kπ+，-2），給（10分）】
∴長度最小的=（-，-2）…（12分）
分析：（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算，化簡f（x）=2cos（2x-）+2，再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求解．
（2）設(shè)=（m，n），先求出函數(shù)f（x） 的圖象平移后對應(yīng)的函數(shù)g（x），根據(jù)中心對稱性求出m，n的值或表達(dá)式．再結(jié)合條件要求確定長度最小的．
點評：本題考查平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)性質(zhì)，考查分析解決問題、分類討論、計算能力．