Question

給定函數(shù)f（x）和常數(shù)a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，則稱(chēng)（a，b）為函數(shù)f（x）的一個(gè)“好數(shù)對(duì)”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，則稱(chēng)（a，b）為函數(shù)f（x）的一個(gè)“類(lèi)好數(shù)對(duì)”．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇1，+∞）．
（Ⅰ）若（1，1）是函數(shù)f（x）的一個(gè)“好數(shù)對(duì)”，且f（1）=3，求f（16）；
（Ⅱ）若（2，0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)“好數(shù)對(duì)”，且當(dāng)1＜x≤2時(shí)，f（x）=

2x-x2

，求證：函數(shù)y=f（x）-x在區(qū)間（1，+∞）上無(wú)零點(diǎn)；
（Ⅲ）若（2，-2）是函數(shù)f（x）的一個(gè)“類(lèi)好數(shù)對(duì)”，f（1）=3，且函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，比較f（x）與

x

2

+2的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意，f（2x）=f（x）+1，且f（1）=3，則f（2ⁿ）=f（2^n-1）+1，從而可得則數(shù)列{f（2ⁿ）}成等差數(shù)列，從而求解；
（Ⅱ）先證明當(dāng)2ⁿ＜x≤2ⁿ⁺¹時(shí)，f(x)=2f(

x

2

)=22f(

x

22

)=…=2nf(

x

2n

)=2n

2x 2n -( x 2n )2

=

2n+1x-x2

，從而令

2n+1x-x2

=x，無(wú)解，從而說(shuō)明函數(shù)y=f（x）-x在區(qū)間（1，+∞）上無(wú)零點(diǎn)；
（Ⅲ）由題意，f（2x）≥2f（x）-2，從而可證f（2ⁿ）≥2ⁿ+2；進(jìn)而可得f（x）＞f（2^n-1）≥2^n-1+2≥

x

2

+2．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，f（2x）=f（x）+1，且f（1）=3，
則f（2ⁿ）=f（2^n-1）+1，
則數(shù)列{f（2ⁿ）}成等差數(shù)列，公差為d=1，首項(xiàng)f（1）=3，
于是f（16）=7；
（Ⅱ）證明：當(dāng)2ⁿ＜x≤2ⁿ⁺¹時(shí)，1＜

x

2n

≤2，
則由題意得，
f(x)=2f(

x

2

)=22f(

x

22

)=…=2nf(

x

2n

)=2n

2x 2n -( x 2n )2

=

2n+1x-x2

；
由f（x）-x=0得，

2n+1x-x2

=x，
解得x=0或x=2ⁿ均不符合條件；
即當(dāng)2ⁿ＜x≤2ⁿ⁺¹時(shí)，函數(shù)y=f（x）-x在區(qū)間（1，+∞）上無(wú)零點(diǎn)；
注意到（1，+∞）=（1，2]∪（2，2²]∪…∪（2ⁿ，2ⁿ⁺¹]∪…
故函數(shù)y=f（x）-x在區(qū)間（1，+∞）上無(wú)零點(diǎn)；
（Ⅲ）由題意，f（2x）≥2f（x）-2，
則f（2ⁿ）≥2f（2^n-1）-2，
即f（2ⁿ）-2≥2[f（2^n-1）-2]；
于是f（2ⁿ）-2≥2[f（2^n-1）-2]≥2²[f（2^n-1）-2]≥…≥2ⁿ，
即f（2ⁿ）≥2ⁿ+2；
而對(duì)任意x＞1，必存在n∈N^*，使得2^n-1＜x≤2ⁿ；
由f（x）單調(diào)遞增得，
f（2^n-1）＜f（x）≤f（2ⁿ）；
則f（x）＞f（2^n-1）≥2^n-1+2≥

x

2

+2；
故f（x）＞

x

2

+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生對(duì)新定義的接受能力，同時(shí)考查了數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系及應(yīng)用，屬于難題．