Question

16．已知${2^{\frac{1}{x}}}≥{x^a}$對任意的x∈（0，1）都成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（　�。�

• A． -e
• B． -eln2
• C． $-\frac{1}{e}$
• D． $-\frac{1}{eln2}$

Answer 1

分析 先根據(jù)對數(shù)的定義，得到$\frac{ln2}{xlnx}≤a$，構(gòu)造函數(shù)設(shè)$f（x）=\frac{ln2}{xlnx}$，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最小值的關(guān)系求出最大值，即可得到a的最小值．

解答 解：對${2^{\frac{1}{x}}}≥{x^a}$兩邊同時(shí)取以e為底的對數(shù)得$\frac{1}{x}ln2≥alnx$，由于x∈（0，1），則lnx＜0，
所以$\frac{ln2}{xlnx}≤a$，
設(shè)$f（x）=\frac{ln2}{xlnx}$，
則$f'（x）=-\frac{（1+lnx）×ln2}{{{{（xlnx）}^2}}}$，
則有

x	$（{0，\;\;\frac{1}{e}}）$	$\frac{1}{e}$	$（{\frac{1}{e}，\;\;1}）$
f'（x）	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞增	極大值$f（{\frac{1}{e}}）$	單調(diào)遞減

所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，$f（x）≤f（{\frac{1}{e}}）=-eln2$，
故a≥-eln2，
所以a的最小值為-eln2，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系以及參數(shù)的取值范圍，構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵，屬于中檔題．