【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）是否存在正整數(shù)，使得在上恒成立？若存在，求出的最大值并給出推導(dǎo)過(guò)程，若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（I）求出， ， ，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程；（II）先根據(jù)時(shí)，可得，所以若存在，則正整數(shù)的值只能取， ， 時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可證明不等式恒成立，從而可得的最大值.

試題解析：（Ⅰ）依題意

則， ，

故所求切線方程為.

（Ⅱ）依題意， ，故，

故對(duì)一切恒成立，

當(dāng)時(shí)，可得，所以若存在，則正整數(shù)的值只能取， .

下面證明當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，

設(shè)，則，

易知（），當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .

即在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

所以，

當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，所以的最大值是.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及不等式恒成立問(wèn)題，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn) 出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí)，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】證明下列不等式：
（1）設(shè)a，b，c∈R* ， 且滿足條件a+b+c=1，證明： ≥9
（2）已知a≥0，證明： ＜ ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某人在靜水中游泳，速度為4公里/小時(shí)，他在水流速度為4公里/小時(shí)的河中游泳．
（1）若他垂直游向河對(duì)岸，則他實(shí)際沿什么方向前進(jìn)？實(shí)際前進(jìn)的速度為多少？
（2）他必須朝哪個(gè)方向游，才能沿與水流垂直的方向前進(jìn)？實(shí)際前進(jìn)的速度為多少？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且有丨FA丨=丨FD丨．當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí)，△ADF為正三角形．

（1）求C的方程；
（2）若直線l1∥l，且l1和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E，
（�。┳C明直線AE過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（ⅱ）△ABE的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某教師調(diào)查了名高三學(xué)生購(gòu)買的數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書的數(shù)量，將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)制成如下表格：

男生

女生

總計(jì)

購(gòu)買數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書超過(guò)本

購(gòu)買數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書不超過(guò)本

總計(jì)

（Ⅰ）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，是否有的把握認(rèn)為購(gòu)買數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書的數(shù)量與性別相關(guān)；

（Ⅱ）從購(gòu)買數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書不超過(guò)本的學(xué)生中，按照性別分層抽樣抽取人，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人詢問(wèn)購(gòu)買原因，求恰有名男生被抽到的概率.

附： ， .

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù),在處的切線方程為.

(1)求的值

(2)當(dāng)且時(shí),求證: .

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知 a=2csinA．
（1）求角C的值；
（2）若c= ，且S△ABC= ，求a+b的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】(本題共12分）已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的極值點(diǎn);

(2)若f(x)≥x2+1在(0,2)上恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知p：﹣x2+2x﹣m＜0對(duì)x∈R恒成立；q：x2+mx+1=0有兩個(gè)正根．若p∧q為假命題，p∨q為真命題，求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案