Question

【題目】輪船A從某港口O將一些物品送到正航行的輪船B上，在輪船A出發(fā)時，輪船B位于港口O北偏西30°且與O相距20海里的P處，并正以30海里/小時的航速沿正東方向勻速行駛，假設輪船A沿直線方向以V海里/小時的航速勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船B相遇．
（1）若使相遇時輪船A航距最短，則輪船A的航行速度大小應為多少？
（2）假設輪船A的最高航行速度只能達到30海里/小時，則輪船A以多大速度及什么航行方向才能在最短時間與輪船B相遇，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設AB兩船在Q處相遇，

在△OPQ中，OP=20，PQ=30t，OQ=Vt，∠OPQ=60°，

由余弦定理可得Vt= = ，

∴當t= 時，Vt取得最小值10 ，

此時V= =30 ．

即輪船A以30 海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小

（2）解：在△POQ中，OQ=30t，

由余弦定理得：OQ2=PQ2+OP2﹣2×PQ×OPcos∠OPQ，

即（30t）2=400+900t2﹣1200tcos60°

∴600t=400

解得：t= ，∴PQ=OQ=20，

∴△OPQ為等邊三角形，∴∠POQ=30°．

故航行方向為北偏東30°，航行速度為30海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇．

【解析】（1）設AB兩船在Q處相遇，根據(jù)余弦定理即可得出答案，（2）利用余弦定理計算出航行時間t，得出PQ，OQ距離，從而得出∠POQ的度數(shù)，得出航行方案.