精英家教網(wǎng)已知在橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)中，F(xiàn)1（-c，0）（c＞0）是橢圓的左焦點，A（a，0），B（0，b）分別是橢圓的右頂點和上頂點，點O是橢圓的中心．又點P在橢圓上，且滿足條件：OP∥AB，點H是點P在x軸上的投影．
（Ⅰ）求證：當(dāng)a取定值時，點H必為定點；
（Ⅱ）如圖所示，當(dāng)點P在第二象限，以O(shè)P為直徑的圓與直線AB相切，且四邊形ABPH的面積等于3+
2
，求橢圓的標準方程．
分析：（I）由kAB=-
b
a
，OP∥AB，得lOP：y=-
b
a
x，代入橢圓方程
x2
a2
+
y2
b2
=1，得x2=
a2
2
，由此能夠證明為定值，點H必為定點．
（II）當(dāng)點P在第二象限，點O到直線AB的距離等于
1
2
|OP|，由條件設(shè)直線AB的方程為：
x
a
+
y
b
=1，則點O到直線AB的距離為d=
ab
a2+b2
，由P(-
2
2
a，
2
2
b)，知|OP|=
2a2+2b2
2
，從而
ab
a2+b2
=
2a2+2b2
4
，由四邊形ABPH的面積等于3+
2
，知SABPH=S△ABO+SOBPH=
1
2
ab+
1
2
×(
2
2
b+b)×
2
2
a=
3+
2
4
ab=3+
2
．由此能夠求出橢圓的標準方程．
解答：解：（I）由kAB=-
b
a
，OP∥AB，得lOP：y=-
b
a
x，代入橢圓方程
x2
a2
+
y2
b2
=1，得x2=
a2
2
，即x=±
2
2
a，
由y=-
b
a
x，得P點的坐標為(-
2
2
a，
2
2
b)或(
2
2
a，-
2
2
b)，（3分）
∵PH⊥x軸，∴H(-
2
2
a，0)或H(
2
2
a，0)，精英家教網(wǎng)
∵a為定值，∴點H必為定點．（6分）

（II）當(dāng)點P在第二象限，以O(shè)P為直徑的圓與直線AB相切，
即等價于點O到直線AB的距離等于
1
2
|OP|，（8分）
由條件設(shè)直線AB的方程為：
x
a
+
y
b
=1，
則點O到直線AB的距離為d=
ab
a2+b2
，
又由（I）可知P(-
2
2
a，
2
2
b)，所以|OP|=
2a2+2b2
2
，
從而
ab
a2+b2
=
2a2+2b2
4
，即a2+b2=2
2
ab①（10分）
又四邊形ABPH的面積等于3+
2
，
則SABPH=S△ABO+SOBPH
=
1
2
ab+
1
2
×(
2
2
b+b)×
2
2
a=
3+
2
4
ab=3+
2

整理得ab②（12分）
由①②解得a2=4(
2
+1)，b2=4(
2
-1)
所以所求橢圓的標準方程為
x2
4(
2
+1)
+
y2
4(
2
-1)
=1．（14分）
點評：本題考查圓與圓錐曲線的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），其焦距為2c，若
c
a
=
5
-1
2
（≈0.618），則稱橢圓C為“黃金橢圓”．
（1）求證：在黃金橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）中，a、b、c成等比數(shù)列．
（2）黃金橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F2（c，0），P為橢圓C上的任意一點．是否存在過點F2、P的直線l，使l與y軸的交點R滿足
RP
=-3
PF2
？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請說明理由．
（3）在黃金橢圓中有真命題：已知黃金橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F1（-c，0）、F2（c，0），以A（-a，0）、B（a，0）、D（0，-b）、E（0，b）為頂點的菱形ADBE的內(nèi)切圓過焦點F1、F2．試寫出“黃金雙曲線”的定義；對于上述命題，在黃金雙曲線中寫出相關(guān)的真命題，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過（0，1）點，離心率e=
2
2
；直線l：y=kx+m（m＞0）與圓O：x2+y2=1相切，并與橢圓C交于不同的兩點A、B，（O為坐標原點）．
Ⅰ．求橢圓C的方程及m與k的關(guān)系式m=f（k）；
Ⅱ．設(shè)＜
OA
，
OB
＞=θ，且滿足|
OA|
=
2
，|
OB
|=
10
3
，cosθ=
5
5
求直線l的方程；
Ⅲ．在Ⅱ．的條件下，求三角形AOB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：橢圓C：
x2a2
+y2=1(a＞1)的上頂點為A，左右焦點為F1，F(xiàn)2，直線AF2與圓M：（x-3）2+（y-1）2=3相切
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的下頂點為B，直線y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點M，N，當(dāng)|BM|=|BN|時，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知過橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）右焦點F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點，N為弦AB的中點；又函數(shù)y=asinx+3bcosx圖象的一條對稱軸的方程是x=
π
6
．（1）求橢圓C的離心率e與直線AB的方程；（2）對于任意一點M∈C，試證：總存在角θ（θ∈R）使等式
OM
=cosθ
OA
+sinθ
OB
成立．

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同步練習(xí)冊答案