Question

15．已知點(diǎn)A（-5，0），B（-1，-3），若圓x²+y²=r²（r＞0）上共有四個(gè)點(diǎn)M，N，P，Q，使得△MAB、△NAB、△PAB、△QAB的面積均為5，則r的取值范圍是（5，+∞）．

Answer 1

分析 先求得|AB|=5，再根據(jù)題意可得點(diǎn)M，N，P，Q到直線AB的距離為2，AB的方程為3x+4y+15=0，利用圓上有4個(gè)點(diǎn)到直線AB的距離為2時(shí)，r應(yīng)滿足的條件是圓心到直線AB的距離d＜r-2，從而求得r的取值范圍．

解答 解：由題意可得|AB|=$\sqrt{{（-1+5）}^{2}{+（-3-0）}^{2}}$=5，
根據(jù)△MAB和△NAB、△PAB、△QAB的面積均為5，
可得點(diǎn)M，N，P，Q到直線AB的距離為2；
由于AB的方程為$\frac{y-0}{-3-0}$=$\frac{x+5}{-1+5}$，即3x+4y+15=0，
且圓上有四個(gè)點(diǎn)到直線AB的距離為2，
所以圓心（0，0）到直線AB的距離$\frac{|0+0+15|}{\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}}$＜r-2，解得r＞5；
所以r的取值范圍是（5，+∞）．
故答案為：（5，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線和圓的位置關(guān)系與點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．