（12分）已知棱長(zhǎng)為1的正方體AC1，E、F分別是B1C1、C1D的中點(diǎn)．

（1）求證：E、F、D、B共面；

（2）求點(diǎn)A1到平面的BDEF的距離；

（3）求直線A1D與平面BDEF所成的角．

 

【答案】

（1）見解析；（2）1；（3）.

【解析】

試題分析：解：（1）略．

（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz,

則知B（1，1，0），

設(shè)

得則

令．

設(shè)點(diǎn)A1在平面BDFE上的射影為H，連結(jié)A1D，知A1D是平面BDFE的斜線段．

又

即點(diǎn)A1到平面BDFE的距離為1．

（3）由（2）知，A1H=1，又A1D=，則△A1HD為等腰直角三角形，

是在平面上的射影

所以是直線與平面所成的角，所以。

考點(diǎn)：本題主要考查空間向量的應(yīng)用,綜合考查向量的基礎(chǔ)知識(shí)。

點(diǎn)評(píng)：以向量為工具，利用空間向量坐標(biāo)及數(shù)量積，求點(diǎn)到平面的距離、求直線與平面所成的角是立體幾何中的常見問題和處理手段．

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，直線BD與平面A1BC1所成角的余弦值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是B1C1和C1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)A1到平面DBEF的距離
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•朝陽區(qū)二模）已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱BB1，DD1上的動(dòng)點(diǎn)，且BE=D1F=λ(0＜λ≤
1
2
)．設(shè)EF與AB所成的角為α，與BC所成的角為β，則α+β的最小值（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1．
（1）線段A1B上是否存在一點(diǎn)P，使得A1B⊥平面PAC？若存在，確定P點(diǎn)的位置，若不存在，說明理由；
（2）點(diǎn)P在A1B上，若二面角C-AP-B的大小是arctan2，求BP的長(zhǎng)；
（3）Q點(diǎn)在對(duì)角線B1D，使得A1B∥平面QAC，求
B1QQD
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，O為底ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A1C⊥平面AB1D1； 
（Ⅱ）求A1到平面AB1D1的距離．

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