Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，E為AD上一點，PE⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=ED=2AE，F(xiàn)為PC上一點，且CF=2FP．
（Ⅰ） 求證：PA∥平面BEF；
（Ⅱ）若PE=

3

AE，求二面角F-BE-C的大�。�

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連接AC交BE于點M，連接FM，證明FM∥AP，利用線面平行的判定定理，可得PA∥平面BEF；
（Ⅱ）連CE，在平面PCE內(nèi)過F作FH⊥CE于H，過H作HM⊥BE于M，連FM，可得∠FMH為二面角F-BE-C的平面角，求出FH，MH，即可求二面角F-BE-C的大�。�

解答： （Ⅰ）證明：連接AC交BE于點M，連接FM．
由EM∥CD，∴

AM

MC

=

AE

ED

=

1

2

=

PF

FC

，
∴FM∥AP…（4分）
又∵FM?平面BEF，PA?平面BEF，
∴PA∥平面BEF…（6分）
（Ⅱ）解：連CE，在平面PCE內(nèi)過F作FH⊥CE于H．
由于FH∥PE，故FH⊥平面ABCD．
過H作HM⊥BE于M，連FM．則FM⊥BE，
即∠FMH為二面角F-BE-C的平面角．…（10分）
∵FH=

2

3

PE=

2 3

3

AE，MH=

1

3

BC=

2

3

AE，
∴∠FMH=60°，
即二面角F-BE-C的大小為60°．…（14分）

點評：本題考查線面平行，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，正確作出面面角是關鍵．