Question

2．（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：1²+2²+3²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，n是正整數(shù)；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＜2$\sqrt{n}$（n∈N^*）

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟先驗(yàn)證n=1時(shí)結(jié)論成立，再假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，推導(dǎo)n=k+1時(shí)結(jié)論成立即可．

解答 證明：（1）①n=1時(shí)，左邊=1²=1，右邊=$\frac{1×2×3}{6}$=1，等式成立，
②假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即1²+2²+3²+…+k²=$\frac{k（k+1）（2k+1）}{6}$，
則n=k+1時(shí)，1²+2²+3²+…+k²+（k+1）²=$\frac{k（k+1）（2k+1）}{6}$+（k+1）²
=$\frac{k+1}{6}$[2k²+k+6（k+1）]
=$\frac{k+1}{6}$（2k²+7k+6）
=$\frac{（k+1）（k+2）（2k+3）}{6}$=$\frac{（k+1）（k+1+1）（2（k+1）+1）}{6}$．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立，
由①②得：1²+2²+3²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．
（2）①n=1時(shí)，顯然不等式成立，
②假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$＜2$\sqrt{k}$．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$＜2$\sqrt{k}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$=$\frac{2\sqrt{k（k+1）}+1}{\sqrt{k+1}}$＜$\frac{k+k+1+1}{\sqrt{k+1}}$=2$\sqrt{k+1}$．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立．
由①②得1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＜2$\sqrt{n}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法證明，注意n=k+1的證明時(shí)，必須用上假設(shè)條件．屬于中檔題．