Question

10．平面幾何中，有“邊長為a的正三角形內(nèi)任一點到三邊距離之和為定值$\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$”，類比上述命題，棱長為a的正四面體內(nèi)任一點到四個面的距離之和為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}a$．

Answer 1

分析 由平面圖形的性質(zhì)向空間物體的性質(zhì)進(jìn)行類比時，常用的思路有：由平面圖形中點的性質(zhì)類比推理出空間里的線的性質(zhì)，由平面圖形中線的性質(zhì)類比推理出空間中面的性質(zhì)，由平面圖形中面的性質(zhì)類比推理出空間中體的性質(zhì)．故我們可以根據(jù)已知中平面幾何中，關(guān)于線的性質(zhì)“正三角形內(nèi)任意一點到三邊距離之和是一個定值”，推斷出一個空間幾何中一個關(guān)于面的性質(zhì)．

解答 解：類比在邊長為a的正三角形內(nèi)任一點到三邊的距離之和為定值$\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，
在一個正四面體中，計算一下棱長為a的三棱錐內(nèi)任一點到各個面的距離之和，
如圖：
由棱長為a可以得到BF=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，BO=AO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a-OE，
在直角三角形中，根據(jù)勾股定理可以得到
BO²=BE²+OE²，
把數(shù)據(jù)代入得到OE=$\frac{\sqrt{6}}{12}$a，
∴棱長為a的三棱錐內(nèi)任一點到各個面的距離之和4×$\frac{\sqrt{6}}{12}$a=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}a$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{6}}}{3}a$．

點評 本題是基礎(chǔ)題，考查類比推理及正四面體的體積的計算，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查空間想象能力，計算能力．