Question

17．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{{x^2}+a}}{x}，且f（1）=2$
（1）證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）證明f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由解析式先求出函數(shù)的定義域，化簡f（x）和f（-x）后，由函數(shù)奇偶性的定義即可證明；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義：取值、作差、變形、定號、下結(jié)論，進行證明即可．

解答 （1）證明：f（x）的定義域為{x|x≠0}，關(guān)于原點對稱，
∵f（1）=2，∴1+a=2，即a=1
∵f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$，f（-x）=-x-$\frac{1}{x}$=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)．
（2）證明：任取x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{1}{x1}$-（x₂+$\frac{1}{x2}$）
=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$．
∵x₁＜x₂，且x₁x₂∈（1，+∞），
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性的定義，函數(shù)單調(diào)性的定義：取值、作差、變形、定號、下結(jié)論的應用，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．