Question

已知橢圓M的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，且焦點(diǎn)在x軸上，若M的一個(gè)頂點(diǎn)是（2，0），M的離心率e=

1

2

，過M的右焦點(diǎn)F作不與坐標(biāo)軸垂直的直線l，交M于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)N（t，0）是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且（

NA

+

NB

）⊥

AB

，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓的離心率以及頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)N（t，0）是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)l：x=my+1（m∈R，m≠0），聯(lián)立直線與橢圓方程組成方程組，利用韋達(dá)定理，結(jié)合（

NA

+

NB

）⊥

AB

，數(shù)量積為0，求實(shí)數(shù)t的表達(dá)式，然后求解取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．a(chǎn)=2，

c

a

=

1

2

，所以c=1，b²=a²-c²=3，
所以橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)l：x=my+1（m∈R，m≠0），

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

⇒（3m²+4）y²+6my-9=0．
由韋達(dá)定理得y₁+y₂=-

6m

3m2+4

．①
（

NA

+

NB

）⊥

AB

⇒|NA|=|NB|⇒（x₁-t）²+y₁²=（x₂-t）²+y₂²⇒（x₁-x₂）（x₁+x₂-2t）+（y₁²-y₂²）=0，
將x₁=my₁+1，x₂=my₂+1代入上式整理得，
（y₁-y₂）[（m²+1）（y₁+y₂）+m（2-2t）]=0．
由y₁≠y₂知（m²+1）（y₁+y₂）+m（2-2t）=0，
將①代入得t=

1

3m2+4

，
所以實(shí)數(shù)t∈（0，

1

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分析問題解決問題的能力．