Question

在數(shù)列中{a_n}，a1=1，3anan-1+an-an-1=0(n≥2，n∈N*)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）若λa_n-a_n+1≤0對(duì)任意的正整數(shù)N恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）整理得：

1

an

-

1

an-1

=3(n≥2)，可得{

1

an

}為等差數(shù)列，由此求出數(shù)列{

1

an

}的通項(xiàng)公式，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把（1）求得的結(jié)果代入λa_n-a_n+1≤0，分離參數(shù)，得到λ≤

an+1

an

，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值即可解決；

解答：解：（1）由題意知數(shù)列各項(xiàng)不為0，
由3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0，得3+

1

an-1

-

1

an

=0，
所以

1

an

-

1

an-1

=3(n≥2)，
所以數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為3，
則

1

an

=1+（n-1）•3=3n-2，所以a_n=

1

3n-2

；
（2）若λa_n-a_n+1≤0恒成立，即λ≤

an+1

an

恒成立，整理得：λ≤

3n-2

3n+1

=1-

3

3n+1

，
設(shè)f（x）=1-

3

3x+1

，可知f（x）在x∈（-

1

3

，+∞）上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)n=1時(shí)，[1-

3

3n+1

]min=

1

4

，
所以λ的取值范圍為λ∈（-∞，

1

4

]．

點(diǎn)評(píng)：考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查學(xué)生的邏輯思維能力和靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．