Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-4|．
（Ⅰ）寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）解不等式f（x）＜5；
（Ⅲ）設(shè)0＜a≤4，求f（x）在[0，a]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）=x|x-4|=

x2-4x，x≥4 -x2+4x，x＜4

，可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間．
（Ⅱ）不等式f（x）＜5，即 x|x-4|＜5，可得 

x≥4 x2-4x-5＜0

 ①，或

x＜4 x2-4x+5＞0

 ②．分別求得①和②的解集，再取并集，即為所求．
（Ⅲ）分當(dāng)0＜a≤2時(shí)，和當(dāng)2＜a≤4 時(shí)兩種情況，分別利用函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）在[0，a]上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x|x-4|=

x2-4x，x≥4 -x2+4x，x＜4

，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，2]和[4，+∞）；  單調(diào)遞減區(qū)間是[2，4]．
（Ⅱ）解不等式f（x）＜5，即 x|x-4|＜5，∴

x≥4 x2-4x-5＜0

 ①，或

x＜4 x2-4x+5＞0

 ②．
解①求得4≤x＜5，解②求得x＜4，故原不等式的解集為（-∞，5）．
（Ⅲ）解：當(dāng)0＜a≤2時(shí)，f（x）是[0，a]上的增函數(shù)，此時(shí)f（x）在[0，a]上的最大值是f（a）=a（4-a）．
當(dāng)2＜a≤4 時(shí)，f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，在[2，a]上是減函數(shù)，此時(shí)f（x）在[0，a]上的最大值是f（2）=4．
 綜上，當(dāng)0＜a≤2時(shí)，f（x）在[0，a]上上的最大值是a（4-a）；
當(dāng)2＜a≤4 時(shí)，f（x）在[0，a]上上的最大值是4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查帶由絕對(duì)值的函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，解絕對(duì)值不等式，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．