Question

1．函數(shù)f（x）=ax³+bx²-c，當(dāng)x=1時，f（x）取得的極值-3-c．  
 （1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極值；
（3）若對于任意x＞0，不等式f（x）≥-2c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：求導(dǎo)f′（x）=3ax²+2bx，由f（x）在x=1時取得極值3，$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3a+2b=0}\\{f（1）=a+b-c=-3-c}\end{array}\right.$，解方程組即可求得a，b的值；
（2）求導(dǎo)f′（x）=-8x²+18x=18x（x-1），令f′（x）=0，解得：x=0或x=1，則f′（x）＞0，求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，f′（x）＜0，求得函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）由題意可知：6x³-9x²-c≥-2c²對任意x＞0恒成立，由函數(shù)的單調(diào)性可知：當(dāng)x=1時，f（x）_min=-3-c，因此-3-c≥-2c²，則2c²-c-3≥0，即可求得c的取值范圍．

解答 解：（1）由f（x）=ax³+bx²-c，求導(dǎo)f′（x）=3ax²+2bx，
∵f（x）在x=1時取得極值3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3a+2b=0}\\{f（1）=a+b-c=-3-c}\end{array}\right.$，解得：a=6，b=-9，
a，b的值分別為6，-9；
故f（x）=6x³-9x²-c；
（2）由（1）可知：f（x）=6x³-9x²-c，
求導(dǎo)f′（x）=18x²-18x=18x（x-1），
令f′（x）=0，解得：x=0或x=1，
當(dāng)x＜0或x＞1時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間：（-∞，0）和（1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）；
當(dāng)x=0時，取極大值，f（0）=-c，當(dāng)x=1時取極小值，f（1）=-3-c；
∴函數(shù)f（x）的極大值為-c，極小值-3-c；
（3）由f（x）≥-2c²對任意x＞0恒成立，6x³-9x²-c≥-2c²對任意x＞0恒成立，
∵當(dāng)x=1時，f（x）_min=-3-c，
∴-3-c≥-2c²，整理得：2c²-c-3≥0，
解得：c＞$\frac{3}{2}$，c≤-1．
∴c的取值范圍是（-∞，-1]∪[$\frac{3}{2}$，+∞）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查不等式恒成立，考查計算能力，屬于中檔題．