Question

已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+1-m=0，且直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若|AB|=

17

，求直線l的傾斜角；
（2）若點(diǎn)P（1，1），滿足2

AP

=

PB

，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）求出弦心距、利用點(diǎn)到直線的距離公式可得直線的斜率，即可求直線l的傾斜角；
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，mx₁-m+1），點(diǎn)B（x₂，mx₂-m+1 ），由題意2

AP

=

PB

，可得2x₁+x₂=3． ①再把直線方程 y-1=m（x-1）代入圓C，化簡可得x₁+x₂=

2m2

1+m2

②，由①②解得點(diǎn)A的坐標(biāo)，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入圓C的方程求得m的值，從而求得直線L的方程．

解答： 解：（1）由于半徑r=

5

，|AB|=

17

，∴弦心距d=

3

2

，
再由點(diǎn)到直線的距離公式可得d=

|0-1+1-m|

m2+1

=

3

2

，
解得m=±

3

．
故直線的斜率等于±

3

，故直線的傾斜角等于

π

3

或

2π

3

．
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，mx₁-m+1），點(diǎn)B（x₂，mx₂-m+1 ），
由題意2

AP

=

PB

，可得 2（1-x₁，-mx₁+m ）=（x₂-1，mx₂-m ），
∴2-2x₁=x₂-1，即2x₁+x₂=3． ①
再把直線方程 y-1=m（x-1）代入圓C：x²+（y-1）²=5，化簡可得 （1+m²）x²-2m²x+m²-5=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂=

2m2

1+m2

②．
由①②解得x₁=

3+m2

1+m2

，故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

3+m2

1+m2

，

1+2m+m2

1+m2

）．
把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入圓C的方程可得m²=1，故m=±1，
故直線L的方程為x-y=0，或x+y-2=0．

點(diǎn)評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長公式的應(yīng)用，兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，屬于中檔題．