Question

如圖，E、F分別為直角三角形ABC的直角邊AC和斜邊AB的中點，沿EF將△AEF折起到△A'EF的位置，使A′C=

3

2

AC，連結(jié)A′B、A′C．
（1）求二面角A-BC-A′的大小
（2）求證：AA′⊥平面A′BC．

Answer 1

分析：（1）證明∠A′CA=∠A′CE是二面角A-BC-A′的平面角，利用余弦定理，即可求解；
（2）由（1）BC⊥平面A′AC得BC⊥AA′，證明AA′⊥A′C，利用聰明垂直的判定定理，可得結(jié)論．

解答：（1）解：∵E、F分別為直角三角形ABC的直角邊AC和斜邊AB的中點
∴EF∥BC
∵直角三角形ABC中，∠C=90°，∴AC⊥BC
∴EF⊥AC
折后，EF⊥AC，EF⊥AF．
∴EF⊥平面A′AC
∵EF∥BC，∴BC⊥平面A′AC
∵A′C，AC?平面A′AC，∴BC⊥AC，BC⊥A′C
∴∠A′CA=∠A′CE是二面角A-BC-A′的平面角
設(shè)AC=2a，在△A′EC中，A′C=EC=a，A′E=

3

a
∴cos∠A′CE=

a2+( 3 a)2-a2

2×a× 3 a

=

3

2

，
∴∠A′CE=

π

6

∴二面角A-BC-A′的大小為

π

6

                     7分
（2）證明：由（1）BC⊥平面A′AC得BC⊥AA′
∵EA=EA′=EC，
∴A′在以AC為直徑的圓上
∴AA′⊥A′C
又BC∩A′C=C，BC，A′C?平面A′BC
∴AA′⊥平面A′BC．                                              12分．

點評：本題考查面面角，考查圖形的翻折，考查線面垂直，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．