Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow，\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=2，|$\overrightarrow{c}$|=1，（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$）=0，則|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|的取值范圍為（　　）

• A． [$\sqrt{7}$-1，$\sqrt{7}$+1]
• B． （$\sqrt{7}$-1，$\sqrt{7}$+1）
• C． [1，2]
• D． （1，2）

Answer 1

分析 利用向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)和模的計(jì)算公式及不等式的性質(zhì)即可得出

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow，\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=2，|$\overrightarrow{c}$|=1，（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$）=0，如圖
∴設(shè)$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，則$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow-\overrightarrow{c}$，所以CA⊥CB，如圖，OA=OB=2，取AB中點(diǎn)D，設(shè)CD=x，則AB=2x，
則OD⊥AB，AO²=DO²+AD²，所以DO=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，根據(jù)CD-CO≤OD≤CO+CD，
∴1-x$≤\sqrt{4-{x}^{2}}≤$1+x，解得$\frac{\sqrt{7}-1}{2}≤x≤\frac{\sqrt{7}+1}{2}$，
∴$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$=2x∈[$\sqrt{7}-1，\sqrt{7}+1$]．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的運(yùn)算；借助于三角形法則等是解答的關(guān)鍵；要熟練掌握數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、模的計(jì)算公式．