【題目】已知函數(shù)f(x)= .
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,a+ )(a>0)上存在極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)x≥1時(shí),不等式f(x)≥ 恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)定義域?yàn)椋?,+∞), f,
由f′(x)=0x=1,當(dāng)0<x<1時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x>1時(shí),f′(x)<0,
則f(x)在(0,1)上單增,在(1,+∞)上單減,
所以函數(shù)f(x)在x=1處取得唯一的極值.
由題意得 ,故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為
(2)解:當(dāng)x≥1時(shí),不等式 .
令 ,由題意,k≤g(x)在[1,+∞)恒成立.
令h(x)=x﹣lnx(x≥1),則 ,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào).
所以h(x)=x﹣lnx在[1,+∞)上單調(diào)遞增,h(x)≥h(1)=1>0
因此 ,則g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,g(x)min=g(1)=2
所以k≤2,即實(shí)數(shù)k的取值范圍為(﹣∞,2].
【解析】(1)求導(dǎo)數(shù),確定函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值,根據(jù)函數(shù)在區(qū)間(a,a+ )(a>0)上存在極值點(diǎn),可得 ,即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)當(dāng)x≥1時(shí),分離參數(shù),構(gòu)造 ,證明g(x)在[1,+∞)上是單調(diào)遞增,所以[g(x)]min=g(1)=2,即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=a+ (a,b∈R)有最大值和最小值,且最大值與最小值之和為6,則3a﹣2b=( )
A.7
B.8
C.9
D.10
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在圓心角為90°的扇形AOB中,以圓心O作為起點(diǎn)作射線OC,OD,則使∠AOC+∠BOD<45°的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=f(x﹣1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,且當(dāng)x∈(﹣∞,0),f(x)+xf′(x)<0成立.若a=(20.2)f(20.2),b=(ln2)f(ln2),c=(log2 )f(log2 ),則a,b,c的大小關(guān)系是( )
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>a>b
D.a>c>b
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足向量 =(cosA,cosB), =(a,2c﹣b), ∥ .
(1)求角A的大小;
(2)若a=2 ,求△ABC面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),對(duì)任意的x∈R,都有f(x+4)=f(x),且當(dāng)x∈[﹣2,0]時(shí),f(x)=( )x﹣6,若在區(qū)間(﹣2,6]內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)﹣loga(x+2)=0(a>1)恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(1,2)
B.(2,+∞)
C.
D.
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【題目】已知向量 =(1,2), =(﹣2,m), = +(t2+1) , =﹣k + ,m∈R,k、t為正實(shí)數(shù).
(1)若 ∥ ,求m的值;
(2)若 ⊥ ,求m的值;
(3)當(dāng)m=1時(shí),若 ⊥ ,求k的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助,用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人,結(jié)果如下:
是否需要志愿 性別 | 男 | 女 |
需要 | 40 | 30 |
不需要 | 160 | 270 |
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C1:(x﹣1)2+y2=2,圓C2:(x﹣m)2+(y+m)2=m2 . 圓C2上存在點(diǎn)P滿足:過點(diǎn)P向圓C1作兩條切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,△ABP的面積為1,則正數(shù)m的取值范圍是 .
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