Question

已知向量

m

=（a_n，2ⁿ），

n

=（2ⁿ⁺¹，-a_n+1），n∈N^*，

m

⊥

n

，且a₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂a_n+1，求數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由2n+1an=2nan+1，得

an+1

an

=2，由此能求出an=2n-1．
（2）b_n=log₂a_n+1=n，由

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此能求出數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（1）∵m=（an，2n），n=（2ⁿ⁺¹，-a_n+1），n∈N^*，m⊥n，
∴2n+1an=2nan+1，
若a_n=0，a_n+1=0與a₁=1矛盾，
∴

an+1

an

=2，
數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
∴an=2n-1．
（2）∵b_n=log₂a_n+1=n，
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和S_n的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．