已知不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
>a
對一切大于1的自然數(shù)n都成立,則a的取值范圍是(  )
分析:先設(shè)f(n)=
1
n+1
+…+
1
2n
,利用單調(diào)性的定義證得f(n)是關(guān)于n(n∈N,n≥2)的遞增數(shù)列,從而f(n)≥f(2)從而可求a的取值范圍.
解答:解:設(shè)設(shè)f(n)=
1
n+1
+…+
1
2n
,則f(n+1)=
1
n+2
+…+
1
2n
+
1
2n+1
+
1
2(n+1)
,
f(n+1)-f(n)=
1
2n+1
+
1
2(n+1)
-
1
n+1
=
1
2n+1
-
1
2(n+1)
=
1
2n+1
-
1
2n+2
>0
,
所以數(shù)列f(n)是關(guān)于n(n∈N,n≥2)的遞增數(shù)列,
所以f(n)≥f(2)=
1
2+1
+
1
2+2
=
1
3
+
1
4
=
7
12
,
所以要使不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
>a
對一切大于1的自然數(shù)n都成立,所以a
7
12

故選C.
點評:本小題主要考查數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用、不等式的證明、進行簡單的演繹推理、不等式的證明等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知不等式
1
2
+
1
3
+…+
1
n
1
2
[log2n]
,其中n為大于2的整數(shù),[log2n]表示不超過log2n的最大整數(shù).設(shè)數(shù)列{an}的各項為正,且滿足a1=b(b>0),an
nan-1
n+an-1
,n=2,3,4,….證明:an
2b
2+b[log2n]
,n=3,4,5,….

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知不等式
1
2
+
1
3
+
+
1
n
1
2
[log2n]
,其中n為大于2的整數(shù),[log2n]表示不超過log2n的最大整數(shù).設(shè)數(shù)列{an}的各項為正,且滿足a1=b(b>0),an
nan-1
n+an-1
,n=2,3,4,…

(Ⅰ)證明an
2b
2+b[log2n]
,n=3,4,5,…

(Ⅱ)試確定一個正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時,對任意b>0,都有an
1
5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知不等式
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n
1
12
loga(a-1)+
2
3
對于一切大于1的自然數(shù)n都成立.
求證:實數(shù)a的取值范圍是1<a<
1+
5
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
1
12
loga(a-1)+
2
3
對大于1的自然數(shù)n都成立,則實數(shù)a的取值范圍為
1<a<
1+
5
2
1<a<
1+
5
2

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