【題目】已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是邊長為2的菱形,且∠BAD= ,AA1⊥平面ABCD,AA1=1,設E為CD中點
(1)求證:D1E⊥平面BEC1
(2)點F在線段A1B1上,且AF∥平面BEC1 , 求平面ADF和平面BEC1所成銳角的余弦值.
【答案】
(1)證明:由已知該四棱柱為直四棱柱,且△BCD為等邊三角,BE⊥CD
所以BE⊥平面CDD1C1,而D1E平面CDD1C1,故BE⊥D1E
因為△C1D1E的三邊長分別為 ,故△C1D1E為等腰直角三角形
所以D1E⊥C1E,結(jié)合D1E⊥BE知:D1E⊥平面BEC1
(2)解:取AB中點G,則由△ABD為等邊三角形
知DG⊥AB,從而DG⊥DC
以DC,DG,DD1為坐標軸,建立如圖所示的坐標系
此時 , ,設
由上面的討論知平面BEC1的法向量為
由于AF平面BEC1,故AF∥平面BEC1
故(λ+1,0,1)(1,0,﹣1)=(λ+1)﹣1=0λ=0,故
設平面ADF的法向量為 ,
由 知 ,取 ,故
設平面ADF和平面BEC1所成銳角為θ,則
即平面ADF和平面BEC1所成銳角的余弦值為 .
【解析】(1)推導出BE⊥D1E,D1E⊥C1E,由此能證明D1E⊥平面BEC1 . (2)取AB中點G,則由△ABD為等邊三角形知DG⊥AB,從而DG⊥DC,以DC,DG,DD1為坐標軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出平面ADF和平面BEC1所成銳角的余弦值.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識,掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.
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【題目】已知二階矩陣M有特征值λ=8及對應的一個特征向量 =[ ],并且矩陣M對應的變換將點(﹣1,2)變換成(﹣2,4).
(1)求矩陣M;
(2)求矩陣M的另一個特征值.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形, 底面, ,過點的平面與棱, , 分別交于點, , (, , 三點均不在棱的端點處).
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)若平面,求的值;
(Ⅲ)直線是否可能與平面平行?證明你的結(jié)論.
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【題目】已知橢圓:經(jīng)過,且橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設斜率存在的直線與橢圓交于兩點,為坐標原點,,且與圓心為的定圓相切.直線:()與圓交于兩點,.求面積的最大值.
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【題目】已知函數(shù)
(I)求函數(shù)f(x)的最小正周期和對稱中心的坐標
(II)設,求函數(shù)g(x)在上的最大值,并確定此時x的值
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【題目】甲、乙、丙三人進行羽毛球練習賽,其中兩人比賽,另一人當裁判,每局比賽結(jié)束時,負的一方在下一局當裁判,設各局中雙方獲勝的概率均為 ,各局比賽的結(jié)果都相互獨立,第1局甲當裁判.
(1)求第4局甲當裁判的概率;
(2)X表示前4局中乙當裁判的次數(shù),求X的數(shù)學期望.
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【題目】已知 是雙曲線 的右焦點,過點 作 的一條漸近線的垂線,垂足為 ,線段 與 相交于點 ,記點 到 的兩條漸近線的距離之積為 ,若 ,則該雙曲線的離心率是( )
A.
B.2
C. 3
D.4
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【題目】以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中:
①雙曲線與橢圓有相同的焦點;
②在平面內(nèi),設為兩個定點,為動點,且,其中常數(shù)為正實數(shù),則動點的軌跡為橢圓;
③方程的兩根可以分別作為橢圓和雙曲線的離心率;
④過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于兩點,若,則這樣的直線有且僅有3條.其中真命題的序號為__________.
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