Question

2．設f（x）=e^x（ax²+x+1），且曲線y=f（x）在x=1處的切線與x軸平行．
（I）求a的值，并討論f（x）的單調性；
（II）若θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，且|f（cosθ）-f（sinθ）|≤m恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)導函數(shù)的概念可得f'（1）=0，代入求出a，利用導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調性即可；
（Ⅱ）|f（cosθ）-f（sinθ）|≤m恒成立，只需求出左式的最大值即可，根據(jù)（1）式得出函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的最大值，最小值進而得出|f（cosθ）-f（sinθ）|的最大值，求出m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x（ax²+x+1+2ax+1）．由條件知，f′（1）=0，
∴a+3+2a=0，
∴a=-1．
∴f′（x）=e^x（-x²-x+2）=-e^x（x+2）（x-1）．
故當x∈（-∞，-2）∪（1，+∞）時，f′（x）＜0；
當x∈（-2，1）時，f′（x）＞0．
∴f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）單調減少，在（-2，1）單調增加；（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在[0，1]單調增加，
故f（x）在[0，1]的最大值為f（1）=e，最小值為f（0）=1．
從而對任意x₁，x₂∈[0，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1．（10分）
 而當$θ∈[0，\frac{π}{2}]$時，cosθ，sinθ∈[0，1]．
從而|f（cosθ）-f（sinθ）|≤e-1，
所以m≥e-1…（12分）

點評 考查了導函數(shù)的概念，利用導函數(shù)判斷函數(shù)的單調性，對恒成立問題的轉化．